轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 30 mm，长 400 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.3 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 105 kN第 1 段：Ø35 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 1000 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 3000 rpm 下传递 50 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 50 kWN = 3000 rpmdo = 60 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP1 = 30 kN 位于 2.5 mP2 = 25 kN 位于 5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 8 mP = 35 kN 位于 6 mw = 8 kN/m，从 0 到 8 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 240 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 35 MPa，容许压应力为 90 MPa。 求梁能承受的最大正弯矩 Mallow。
bf = 140 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 240 mmσt,allow = 35 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 70 MPa、σᵧ = 100 MPa。在最大主应力达到 135 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 70 MPaσy = 100 MPaσ1 = 135 MPa
τxy = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 1500 mm，壁厚 8 mm，所盛气体的表压为 0.5 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 30° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 1500 mmt = 8 mmp = 0.5 MPaα = 30°
σn = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 26 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 140 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 140 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 28.75 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314.2) = 4.775 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706.9) = 5.659 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.3/1.043 × 10⁻⁵ = 28754 N = 28.75 kN
答案
P = 28.75 kN
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 334.2 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 109.1 MPa
σ2 = 334.2 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 334.2 MPa
答案
σmax = 334.2 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 14.94 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(80000·38350) = 0.2608 rad
φ = 0.2608·180/π = 14.94°
答案
φ = 14.94°
4.轴的扭转
答案: τmax = 5.49 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m
极惯性矩
J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 159155·30/869767 = 5.49 MPa
答案
τmax = 5.49 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 12.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·4 = 30·2.5 + 25·5
RB = 200/4 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 50 = 5 kN
在 P1 处截开，保留左侧部分
Mx = RA·2.5 = 5·2.5 = 12.5 kN·m
答案
Mx = 12.5 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 103.8 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·6 + 8·8·4
RB = 466/8 = 58.25 kN
ΣFy = 0: RA = 99 − 58.25 = 40.75 kN
V = 0 在哪里？
RA − w·x0 = 0 → x0 = 40.75/8 = 5.094 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 40.75·5.094 − 8·5.094²/2 = 103.8 kN·m
答案
Mmax = 103.8 kN·m
它出现在距 A 为 x = 5.094 m 处。
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 3.44 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 240·10 = 2400 mm², yf = 100 + 10/2 = 105 mm
腹板: Aw = 12·100 = 1200 mm², yw = 100/2 = 50 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·105 + 1200·50)/3600 = 86.67 mm
平行移轴定理
翼缘: 240·10³/12 + 2400·(105 − 86.67)² = 826667 mm⁴
腹板: 12·100³/12 + 1200·(50 − 86.67)² = 2.613 × 10⁶ mm⁴
Ix = 826667 + 2.613 × 10⁶ = 3.44 × 10⁶ mm⁴ = 3.44 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 3.44 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Mallow = 5.804 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (2100·247.5 + 2400·120)/4500 = 179.5 mm
上边缘: c = 255 − 179.5 = 75.5 mm
惯性矩
I = 140·15³/12 + 2100·68² + 10·240³/12 + 2400·59.5² = 2.977 × 10⁷ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
正弯矩：上侧受压，下侧受拉。
上边缘: M = 90·2.977 × 10⁷/75.5 = 35.48 kN·m
下边缘: M = 35·2.977 × 10⁷/179.5 = 5.804 kN·m
控制值
Mallow = min = 5.804 kN·m (下边缘)
答案
Mallow = 5.804 kN·m
9.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 47.7 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (70 + 100)/2 = 85 MPa
R = σ1 − C = 135 − 85 = 50 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 15²) = 47.7 MPa
答案
τxy = 47.7 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 41.02 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 0.5·750/8 = 46.88 MPa
σa = pr/(2t) = 23.44 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 23.44·sin²30° + 46.88·cos²30° = 41.02 MPa
答案
σn = 41.02 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 4.386 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 4.386 mm
答案
δmax = 4.386 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 31.31 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 26000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 26000·4000³/(48·1.32 × 10¹²) = 26.26 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 5.051 mm
相加
δmax = 26.26 + 5.051 = 31.31 mm
答案
δmax = 31.31 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 137.1 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
计算长度
KL = 1·3000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/3000² = 137078 N = 137.1 kN
答案
Pcr = 137.1 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 89.34 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·140000 = 350000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 89.34 mm
答案
d = 89.34 mm
校核：长细比 KL/r 为 188，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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