轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求钢杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 85 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 80 kN第 1 段：Ø35 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根空心铝轴（外径 50 mm，内径 38 mm，长 1 m）一端固定，另一端受 500 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 500 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1800 rpm 下传递 30 kW，且切应力不超过 75 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 30 kWN = 1800 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
15 kN @ 4 m55 kN @ 2 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
60 kN @ 0 m20 kN @ 6 m10 kN @ 2 m4 kN/m, 1–5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 12 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 35 MPa，容许压应力为 120 MPa。 求梁能承受的最大负弯矩 Mallow（给出其大小）。
bf = 140 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 280 mmσt,allow = 35 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 10 MPa，σᵧ = 10 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 10 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 800 mm，壁厚 8 mm，所盛气体的表压为 0.8 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 60° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 800 mmt = 8 mmp = 0.8 MPaα = 60°
σn = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 3 mw = 15 kN/m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 1353 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 85·1000/314.2 = 270.6 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 270.6/200000 = 0.001353 = 1353 µε
答案
ε = 1353 µε
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 254.6 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 83.15 MPa
σ2 = 254.6 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 254.6 MPa
答案
σmax = 254.6 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 2.695 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴
扭转角
T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 500000·1000/(26000·408885) = 0.04703 rad
φ = 0.04703·180/π = 2.695°
答案
φ = 2.695°
4.轴的扭转
答案: d = 22.11 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 30000/188.5 = 159.2 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·75)) = 22.11 mm
答案
d = 22.11 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: C (x = 2 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 41.67 kN, R2 = 28.33 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 41.67, MC = 83.33 kN·m, MD = 70, ME = 56.67, MF = 28.33, MG = 0
答案
标记点 C: MC = 83.33 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: B (x = 1 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 85.5 kN, R2 = 20.5 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −60 kN·m, MC = −36.5, MD = −27, ME = −21.5, MF = −20, MG = 0
答案
标记点 B: MB = −60 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 46.59 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 140·20 = 2800 mm², yf = 260 + 20/2 = 270 mm
腹板: Aw = 12·260 = 3120 mm², yw = 260/2 = 130 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·270 + 3120·130)/5920 = 196.2 mm
平行移轴定理
翼缘: 140·20³/12 + 2800·(270 − 196.2)² = 1.534 × 10⁷ mm⁴
腹板: 12·260³/12 + 3120·(130 − 196.2)² = 3.126 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.534 × 10⁷ + 3.126 × 10⁷ = 4.659 × 10⁷ mm⁴ = 46.59 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 46.59 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Mallow = 13.06 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (1400·285 + 2800·140)/4200 = 188.3 mm
上边缘: c = 290 − 188.3 = 101.7 mm
惯性矩
I = 140·10³/12 + 1400·96.67² + 10·280³/12 + 2800·48.33² = 3.793 × 10⁷ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
负弯矩：上侧受拉，下侧受压。
上边缘: M = 35·3.793 × 10⁷/101.7 = 13.06 kN·m
下边缘: M = 120·3.793 × 10⁷/188.3 = 24.17 kN·m
控制值
Mallow = min = 13.06 kN·m (上边缘)
答案
Mallow = 13.06 kN·m
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 30 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((10 − 10)/2)² + 30²) = 30 MPa
答案
τmax = 30 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 25 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 0.8·400/8 = 40 MPa
σa = pr/(2t) = 20 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 20·sin²60° + 40·cos²60° = 25 MPa
答案
σn = 25 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 10.11 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 10.11 mm
答案
δmax = 10.11 mm
12.梁的挠度
答案: RB = 16.88 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·3/8 = 16.88 kN
答案
RB = 16.88 kN
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 2.366 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
计算长度
KL = 1·4000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2.366 kN
答案
Pcr = 2.366 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 49.35 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
答案
σcr = 49.35 MPa
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