轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 60 mm，长 400 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.3 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa，许用应力 150 MPa）放在一根铜管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa，许用应力 60 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 750 N·md = 30 mmL = 2.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 1000 rpm 下传递 5 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 5 kWN = 1000 rpmdo = 40 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P。 求在距固定端 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 3 mP = 10 kN 位于 1 mw = 10 kN/m，从 0 到 3 mx = 0.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
60 kN @ 12 m40 kN @ 2 m8 kN/m, 0–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.形心和惯性矩中等
一块 200 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 70 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 200 mmd = 60 mm孔心: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
焊接工字形截面的上翼缘为 110 × 22 mm，腹板高 180 mm、厚 12 mm，下翼缘为 170 × 16 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
上翼缘: 110 × 22 mm腹板: 12 × 180 mm下翼缘: 170 × 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 60 MPa、σᵧ = 20 MPa。在最大主应力达到 105 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 60 MPaσy = 20 MPaσ1 = 105 MPa
τxy = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 600 mm，壁厚 6 mm，所盛气体的表压为 0.8 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 50° 的螺旋焊缝焊接而成。 求沿焊缝作用的切应力 |τn| 的大小。
D = 600 mmt = 6 mmp = 0.8 MPaα = 50°
|τn| = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 15 kNa = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 36.89 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·2827) = 2.021 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.3/8.133 × 10⁻⁶ = 36889 N = 36.89 kN
答案
P = 36.89 kN
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 215.2 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·3063 = 4.304 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.00075, 0.0005) = 0.0005 (铜)
最大载荷
Pmax = 0.0005·4.304 × 10⁸ = 215199 N = 215.2 kN
答案
Pmax = 215.2 kN
3.轴的扭转
答案: φ = 16.89 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(80000·79522) = 0.2947 rad
φ = 0.2947·180/π = 16.89°
答案
φ = 16.89°
4.轴的扭转
答案: τmax = 5.558 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 5000/104.7 = 47.75 N·m
极惯性矩
J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 47746·20/171806 = 5.558 MPa
答案
τmax = 5.558 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −36.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −10·0.5 = −5 kN·m
w: −10·2.5²/2 = −31.25 kN·m
Mx = −5 − 31.25 = −36.25 kN·m
答案
Mx = −36.25 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
6.剪力和弯矩
答案: F (x = 10 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 60 kN, R2 = 120 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 104, MC = 96, MD = 56, ME = −16, MF = −120 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = −120 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 130 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (40000·100 − 2827·70)/(40000 − 2827) = 102.3 mm
完整的板关于 ȳ
200·200³/12 + 40000·−2.282² = 133.5 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−32.28² = 3.583 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 130 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 130 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 56.73 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成三个矩形
每个 y 都从底边量起。
上翼缘: A = 2420 mm², y = 207 mm
腹板: A = 2160 mm², y = 106 mm
下翼缘: A = 2720 mm², y = 8 mm
形心
ȳ = (2420·207 + 2160·106 + 2720·8)/7300 = 103 mm
平行移轴定理
上翼缘: 110·22³/12 + 2420·104² = 2.629 × 10⁷ mm⁴
腹板: 12·180³/12 + 2160·3.033² = 5.852 × 10⁶ mm⁴
下翼缘: 170·16³/12 + 2720·94.97² = 2.459 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.629 × 10⁷ + 5.852 × 10⁶ + 2.459 × 10⁷
Ix = 5.673 × 10⁷ mm⁴ = 56.73 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 56.73 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 61.85 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (60 + 20)/2 = 40 MPa
R = σ1 − C = 105 − 40 = 65 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 20²) = 61.85 MPa
答案
τxy = 61.85 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: |τn| = 9.848 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 0.8·300/6 = 40 MPa
σa = pr/(2t) = 20 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
|τn| = (40 − 20)·sin 50°·cos 50° = 9.848 MPa
答案
|τn| = 9.848 MPa
11.梁的挠度
答案: δP = 6.349 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 15000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 15000·2000²·4000²/(3·8.4 × 10¹²·6000) = 6.349 mm
答案
δP = 6.349 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 83.71 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·5000⁴/(384·70000·13.89) = 8.371 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 83.71 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 83.71 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 4.998 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 2·6000 = 12000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/12000² = 4998 N = 4.998 kN
答案
Pcr = 4.998 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 26.99 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12.5 = 160
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26.99 MPa
答案
σcr = 26.99 MPa
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