轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 50 mm，长 400 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.2 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根青铜管（外径 120 mm，内径 60 mm，E = 110 GPa，许用应力 100 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 400 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心钢轴在 750 rpm 下传递 50 kW。切应力不得超过 40 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.75°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 50 kWN = 750 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 5.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 mx = 5.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 8 mw = 6 kN/m，从 0 到 8 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
圆管外径 D = 280 mm，内径 d = 264 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。
D = 280 mmd = 264 mm
r = mm
8.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 110 mm、厚 18 mm，总高度 440 mm，腹板厚 8 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 50 kN·m。 求截面中最大弯曲应力 σmax 的大小。
B = 110 mmH = 440 mmtf = 18 mmtw = 8 mmM = 50 kN·m
σmax = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −20 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −20 MPaσy = −80 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −60 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 275 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = −60 MPaσy = 70 MPaτxy = 40 MPaσY = 275 MPa
n =
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 125 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 125 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 33.52 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1963) = 2.91 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.2/5.966 × 10⁻⁶ = 33523 N = 33.52 kN
答案
P = 33.52 kN
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 1077 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1.184 × 10⁹ N
控制应变
ε = min(0.00125, 0.0009091) = 0.0009091 (青铜)
最大载荷
Pmax = 0.0009091·1.184 × 10⁹ = 1.077 × 10⁶ N = 1077 kN
答案
Pmax = 1077 kN
3.轴的扭转
答案: φ = 22.17 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(39000·79522) = 0.3869 rad
φ = 0.3869·180/π = 22.17°
答案
φ = 22.17°
4.轴的扭转
答案: d = 49.88 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m
按强度求直径
T = 636.6 N·m = 636620 N·mm
dτ = ∛(16·636620/(π·40)) = 43.28 mm
按刚度求直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·636620/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 49.88 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(43.28, 49.88) = 49.88 mm
答案
d = 49.88 mm
这里由刚度控制。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 24.75 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 2·10·5
RB = 100/10 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
在 x = 5.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 10·5.5 − 2·5.5·2.75 = 24.75 kN·m
答案
Mx = 24.75 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 21.33 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·8·4
RB = 192/6 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 32 = 16 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 16/6 = 2.667 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 16²/(2·6) = 21.33 kN·m
答案
Mmax = 21.33 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: r = 96.21 mm
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。
净面积和惯性矩
A = π(D² − d²)/4 = 6836 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6.327 × 10⁷ mm⁴
回转半径
r = √(I/A) = √(6.327 × 10⁷/6836) = 96.21 mm
答案
r = 96.21 mm
8.形心和惯性矩
答案: σmax = 49.92 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 440 − 2·18 = 404 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (110·440³ − 102·404³)/12
Ix = 2.204 × 10⁸ mm⁴
弯曲应力
y = 220 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·220/2.204 × 10⁸ = 49.92 MPa
答案
σmax = 49.92 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −26.57 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−40, −20 − −80) = −53.13°
单元体上的角度
θp = −26.57°
答案
θp = −26.57°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: n = 1.802
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 5 MPa, R = 76.32 MPa
σ1 = 81.32 MPa, σ2 = −71.32 MPa, σ3 = 0
特雷斯卡
σmax − σmin = 152.6 MPa
n = 275/152.6 = 1.802
答案
n = 1.802
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
11.梁的挠度
答案: δmax = 42.09 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 42.09 mm
答案
δmax = 42.09 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 2.197 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·2500⁴/(384·200000·6.944) = 2.197 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2.197 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 2.197 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 16.82 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 2·3000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16.82 kN
答案
Pcr = 16.82 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 90.9 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·125000 = 375000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 90.9 mm
答案
d = 90.9 mm
校核：长细比 KL/r 为 184.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials