材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等
200 kNØ30120 GPaØ120/50600 mmδ = ?

一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根铜管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa）内。二者长度均为 600 mm，在刚性板之间被 200 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。

P = 200 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
P = ?Ø30120 GPaØ100/60800 mm

一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa，许用应力 120 MPa）放在一根铜管（外径 100 mm，内径 60 mm，E = 120 GPa，许用应力 50 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。

杆: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
do​ = ?T = 250 N·m

一根空心轴须承受 250 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.8 倍，切应力不得超过 75 MPa。求最小外径 do。

T = 250 N·mdi/do = 0.8τallow = 75 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
d = 60 mmTB​ = 100 N·mTC​ = 200 N·mABC1.5 m0.5 m

一根直径 60 mm 的实心钢轴在 A 端固定。距 A 1.5 m 的 B 处作用 100 N·m 的扭矩，再往前 0.5 m 的自由端 C 处作用一个同向的 200 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。

d = 60 mmTB = 100 N·mTC = 200 N·mAB = 1.5 mBC = 0.5 m
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
6 kN/m50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 4 m6 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
w = 5 kN/mP = 25 kNAB截面1 m2.5 m1.5 m

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 25 kN 位于 3.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 5 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
100 mm240 mm144 mmØ30xIx​ = ?

一块 100 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mm孔心: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
1802522018xM = 20 kN·m尺寸单位为 mm

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。

bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 18 mmhw = 220 mmM = 20 kN·m
σ顶部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = −80σy​ = 50τxy​ = 50MPa

某点 σₓ = −80 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。

σx = −80 MPaσy = 50 MPaτxy = 50 MPa
θs = °
10.莫尔圆与应力变换困难
σx​ = −50σy​ = −40τxy​ = 60MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −50 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 420 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。

σx = −50 MPaσy = −40 MPaτxy = 60 MPaσY = 420 MPa
n =
11.梁的挠度中等
P = 24 kNABδ1.5 m2.5 m

简支梁在距支座 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。

P = 24 kNa = 1.5 mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
w = 3 kN/mABδ5 m

一根矩形截面的简支木梁，宽 150 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 hreq。

w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 150 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
PL = 5 m25 × 100 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
PL = 5 md = 60 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.09502 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·9346 = 1.263 × 10⁹ N

缩短量

δ = 200000·600/1.263 × 10⁹ = 0.09502 mm

答案

δ = 0.09502 mm
2.轴向应力与应变

答案: Pmax = 310.2 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·5027 = 7.446 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.0006, 0.0004167) = 0.0004167 (铜)

最大载荷

Pmax = 0.0004167·7.446 × 10⁸ = 310232 N = 310.2 kN

答案

Pmax = 310.2 kN
3.轴的扭转

答案: do = 30.64 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

由容许应力求外径

T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·75·0.5904)) = 30.64 mm
di = 0.8·30.64 = 24.51 mm

答案

do = 30.64 mm

实心轴需要 d = 25.7 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

4.轴的扭转

答案: τmax = 7.074 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

内扭矩

取 TC 的转向为正。

TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC + TB = 200 + 100 = 300 N·m

最大切应力

内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。

|T|max = 300 N·m
τmax = 16·300000/(π·60³) = 7.074 MPa

答案

τmax = 7.074 MPa
5.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 34.67 kN, R2 = 51.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 31.67, MC = 57.33, MD = 77, ME = 90.67 kN·m, MF = 48.33, MG = 0

答案

标记点 E: ME = 90.67 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: Mx = 17.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·3.5 + 5·5·2.5
RB = 150/5 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 30 = 20 kN
w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​ = 20RB​ = 30截面1 m2.5 m1.5 m

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 20·1 − 5·1·0.5 = 17.5 kN·m

答案

Mx = 17.5 kN·m
7.形心和惯性矩

答案: Ix = 114.7 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (24000·120 − 706.9·144)/(24000 − 706.9) = 119.3 mm

完整的板关于 ȳ

100·240³/12 + 24000·0.7283² = 115.2 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·24.73² = 0.472 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 114.7 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 114.7 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩

答案: σ顶部 = 29.21 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 220 + 25/2 = 232.5 mm
腹板: Aw = 18·220 = 3960 mm², yw = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·232.5 + 3960·110)/8460 = 175.2 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·25³/12 + 4500·(232.5 − 175.2)² = 1.503 × 10⁷ mm⁴
腹板: 18·220³/12 + 3960·(110 − 175.2)² = 3.279 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.503 × 10⁷ + 3.279 × 10⁷ = 4.782 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 245 − 175.2 = 69.84 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·69.84/4.782 × 10⁷ = 29.21 MPa

答案

σ顶部 = 29.21 MPa
9.莫尔圆与应力变换

答案: θs = 26.22 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

στxyCτmax​

圆上的角度

在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。

cos 2θs = 50/82.01 = 0.6097, sin 2θs = −(−65)/82.01 = 0.7926
2θs = atan2(65, 50) = 52.43°

单元体上的角度

θs = 26.22°
校核: θs − θp = 26.22 − 71.22 = −45°

答案

θs = 26.22°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: n = 3.488

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。

στxyCσ1​σ2​

主应力

C = −45 MPa, R = 60.21 MPa
σ1 = 15.21 MPa, σ2 = −105.2 MPa, σ3 = 0

特雷斯卡

σmax − σmin = 120.4 MPa
n = 420/120.4 = 3.488

答案

n = 3.488

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

11.梁的挠度

答案: δP = 2.511 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 24000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa²b²/(3EIL) = 24000·1500²·2500²/(3·1.12 × 10¹³·4000) = 2.511 mm

答案

δP = 2.511 mm
12.梁的挠度

答案: hreq = 233.8 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

所需惯性矩

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·13.89) = 1.598 × 10⁸ mm⁴

所需高度

bh³/12 = Ireq → h = (12·1.598 × 10⁸/150)1/3 = 233.8 mm

答案

hreq = 233.8 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

13.柱的屈曲

答案: Pcr = 10.28 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

计算长度

KL = 1·5000 = 5000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/5000² = 10281 N = 10.28 kN

答案

Pcr = 10.28 kN
14.柱的屈曲

答案: σcr = 4.441 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/15 = 666.7

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666.7² = 4.441 MPa

答案

σcr = 4.441 MPa

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