材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等
Ø 25 mm铜2.5 mP = 105 kN

求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。

P = 105 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
Ø 25 mm钢1 mØ 12 mm铜1 mP = 50 kN

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 50 kN第 1 段：Ø25 mm，1 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
d1​ = 75 mmd2​ = 20 mmT = 500 N·mABC2 m0.5 m

一根阶梯形实心钢轴在 A 端固定。AB 段直径 75 mm，长 2 m；BC 段直径 20 mm，长 0.5 m。自由端 C 作用 500 N·m 的扭矩。 求端部 C 的扭转角 φC，以度表示。

T = 500 N·md1 = 75 mm, L1 = 2 md2 = 20 mm, L2 = 0.5 mG = 80 GPa
φC = °
4.轴的扭转困难
Tdo​ = 60 mm, di​ = 45 mm

一根空心轴在 1500 rpm 下传递 30 kW。求轴中的最大切应力 τmax。

P = 30 kWN = 1500 rpmdo = 60 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
P1​ = 80 kNP2​ = 55 kNABC1.5 m4.5 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP1 = 80 kN 位于 1.5 mP2 = 55 kN 位于 8 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
w = 8 kN/mP = 60 kNAB截面1 m2 m7 m

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 60 kN 位于 1 mw = 8 kN/m，从 0 到 10 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
1405001010x尺寸单位为 mm

对称工字形截面的翼缘宽 140 mm、厚 10 mm，总高度 500 mm，腹板厚 10 mm。 求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 Sx。

B = 140 mmH = 500 mmtf = 10 mmtw = 10 mm
Sx = × 10³ mm³
8.形心和惯性矩困难
2002401010xM = 80 kN·m尺寸单位为 mm

对称工字形截面的翼缘宽 200 mm、厚 10 mm，总高度 240 mm，腹板厚 10 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 80 kN·m。 求腹板与上翼缘交界处弯曲应力 σj 的大小。

B = 200 mmH = 240 mmtf = 10 mmtw = 10 mmM = 80 kN·m
σj = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = −50τxy​ = −40MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −50 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = −40 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。

σx = −50 MPaσy = 0 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
σx​τxy​轴的上表面

一根直径 50 mm 的实心轴承受500 N·m 的弯矩，同时承受 2000 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求面内最大切应力 τmax。

d = 50 mmM = 500 N·mT = 2000 N·m
τmax = MPa
11.梁的挠度中等
w = 2 kN/mP = 3 kNABδ3 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。

P = 3 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
w = 8 kN/mAB3 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。

L = 3 mw = 8 kN/m
MA = kN·m
13.柱的屈曲中等
PL = 4 m25 × 80 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
PL = 5 md = 80 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
σcr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: ε = 1828 µε

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 105·1000/490.9 = 213.9 MPa

应变（胡克定律）

E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 213.9/117000 = 0.001828 = 1828 µε

答案

ε = 1828 µε
2.轴向应力与应变

答案: δ = 4.288 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 101.9 MPa
σ2 = 442.1 MPa

叠加各段伸长量

δ1 = σ1L1/E1 = 101.9·1000/200000 = 0.5093 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 442.1·1000/117000 = 3.779 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.288 mm

答案

δ = 4.288 mm
3.轴的扭转

答案: φC = 11.63 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J1 = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

各段的扭转角

T = 500 N·m = 500000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 500000·2000/(80000·3.106 × 10⁶) = 0.004024 rad
φBC = 500000·500/(80000·15708) = 0.1989 rad

总扭转角

φC = 0.004024 + 0.1989 = 0.203 rad = 11.63°

答案

φC = 11.63°
4.轴的扭转

答案: τmax = 6.587 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 30000/157.1 = 191 N·m

极惯性矩

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

最大切应力

τmax = T·(do/2)/J = 190986·30/869767 = 6.587 MPa

答案

τmax = 6.587 MPa
5.剪力和弯矩

答案: Mx = 62.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣMA = 0: RB·6 = 80·1.5 + 55·8
RB = 560/6 = 93.33 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 93.33 = 41.67 kN

在 P1 处截开，保留左侧部分

Mx = RA·1.5 = 41.67·1.5 = 62.5 kN·m

答案

Mx = 62.5 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: Mx = 126 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·1 + 8·10·5
RB = 460/10 = 46 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 46 = 94 kN
w = 8 kN/mP = 60 kNABRA​ = 94RB​ = 46截面1 m2 m7 m

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 94·3 − 60·(3 − 1) − 8·3·1.5 = 126 kN·m

答案

Mx = 126 kN·m
7.形心和惯性矩

答案: Sx = 1041 × 10³ mm³

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。

hw = 500 − 2·10 = 480 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·500³ − 130·480³)/12
Ix = 2.603 × 10⁸ mm⁴

抗弯截面系数

c = H/2 = 250 mm
Sx = I/c = 2.603 × 10⁸/250
Sx = 1.041 × 10⁶ mm³ = 1041 × 10³ mm³

答案

Sx = 1041 × 10³ mm³
8.形心和惯性矩

答案: σj = 142.4 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。

hw = 240 − 2·10 = 220 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (200·240³ − 190·220³)/12
Ix = 6.181 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

y = 120 − 10 = 110 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·110/6.181 × 10⁷ = 142.4 MPa

答案

σj = 142.4 MPa
9.莫尔圆与应力变换

答案: τabs = 47.17 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。

στxyCσ1​σ2​

面内主应力

C = −25 MPa, R = √((−25)² + (−40)²) = 47.17 MPa
σ1 = 22.17 MPa, σ2 = −72.17 MPa, σz = 0

三个圆中最大的

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(94.34, 22.17, 72.17)/2 = 47.17 MPa

答案

τabs = 47.17 MPa

这里 σ₁ 和 σ₂ 异号，所以面内最大值 R 也就是绝对最大值。

10.莫尔圆与应力变换

答案: τmax = 84 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

表面处的应力

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·50³) = 40.74 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81.49 MPa
στxyCτmax​

莫尔圆

C = σ/2 = 20.37 MPa
R = √(20.37² + 81.49²) = 84 MPa

答案

τmax = 84 MPa
11.梁的挠度

答案: δ = 2.813 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 3000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(3EI) = 3000·3000³/(3·1.68 × 10¹³) = 1.607 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 1.205 mm

相加

δ = 1.607 + 1.205 = 2.813 mm

答案

δ = 2.813 mm
12.梁的挠度

答案: MA = 9 kN·m

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·3/8 = 9 kN

固定端的弯矩

荷载和支撑力对 A 取矩。

MA = wL²/2 − RB·L = 36 − 27 = 9 kN·m

答案

MA = 9 kN·m
13.柱的屈曲

答案: Pcr = 17.99 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2000² = 17991 N = 17.99 kN

答案

Pcr = 17.99 kN
14.柱的屈曲

答案: σcr = 11.05 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

回转半径和长细比

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/20 = 250

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa

答案

σcr = 11.05 MPa

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