轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 300 mm，在刚性板之间被 250 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 250 kN杆: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 60 kN第 1 段：Ø30 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根阶梯形实心黄铜轴在 A 端固定。AB 段直径 60 mm，长 3 m；BC 段直径 30 mm，长 0.8 m。自由端 C 作用 750 N·m 的扭矩。 求端部 C 的扭转角 φC，以度表示。
T = 750 N·md1 = 60 mm, L1 = 3 md2 = 30 mm, L2 = 0.8 mG = 39 GPa
φC = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 500 rpm 下传递 15 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 15 kWN = 500 rpmdo = 40 mmdi = 28 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mw = 12 kN/m，从 0 到 6 mx = 2 m
Vx = kN
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8 mP = 10 kN 位于 3 mw = 2 kN/m，从 0 到 8 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
槽形截面开口朝上：由宽 100 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 190 mm。底板和两肢厚度均为 12 mm。 求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
b = 100 mmh = 190 mmt = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 230 mm、厚 20 mm，总高度 340 mm，腹板厚 12 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 100 kN·m。 求截面中最大弯曲应力 σmax 的大小。
B = 230 mmH = 340 mmtf = 20 mmtw = 12 mmM = 100 kN·m
σmax = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −10 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −10 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 10 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 420 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 10 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPaσY = 420 MPa
n =
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 10 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。
L = 6 mP = 30 kN 位于 3 m
MA = kN·m
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1209 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·7461 = 6.205 × 10⁸ N
缩短量
δ = 250000·300/6.205 × 10⁸ = 0.1209 mm
答案
δ = 0.1209 mm
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 530.5 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 84.88 MPa
σ2 = 530.5 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 530.5 MPa
答案
σmax = 530.5 MPa
3.轴的扭转
答案: φC = 13.68 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J1 = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
各段的扭转角
T = 750 N·m = 750000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 750000·3000/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.04534 rad
φBC = 750000·800/(39000·79522) = 0.1935 rad
总扭转角
φC = 0.04534 + 0.1935 = 0.2388 rad = 13.68°
答案
φC = 13.68°
4.轴的扭转
答案: τmax = 30 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m
极惯性矩
J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 286479·20/190984 = 30 MPa
答案
τmax = 30 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Vx = 12 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·6·3
RB = 216/6 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 36 = 36 kN
在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 36 − 12·2 = 12 kN
答案
Vx = 12 kN
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 33.75 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·3 + 2·8·4
RB = 94/8 = 11.75 kN
ΣFy = 0: RA = 26 − 11.75 = 14.25 kN
在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 14.25·3 − 2·3·1.5 = 33.75 kN·m
答案
Mx = 33.75 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 19.75 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成若干矩形
底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。
基质: A1 = 100·12 = 1200 mm², y1 = 6 mm
两肢: A2 = 2·12·178 = 4272 mm², y2 = 12 + 178/2 = 101 mm
形心
ȳ = (1200·6 + 4272·101)/5472 = 80.17 mm
平行移轴定理
基质: 100·12³/12 + 1200·(6 − 80.17)² = 6.615 × 10⁶ mm⁴
两肢: 2·12·178³/12 + 4272·(101 − 80.17)² = 1.313 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.615 × 10⁶ + 1.313 × 10⁷
Ix = 1.975 × 10⁷ mm⁴ = 19.75 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 19.75 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σmax = 64.68 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 340 − 2·20 = 300 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (230·340³ − 218·300³)/12
Ix = 2.628 × 10⁸ mm⁴
弯曲应力
y = 170 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁸·170/2.628 × 10⁸ = 64.68 MPa
答案
σmax = 64.68 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 36.06 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−10 − 30)/2)² + 30²) = 36.06 MPa
答案
τmax = 36.06 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: n = 5.515
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = −20 MPa, R = 42.43 MPa
σ1 = 22.43 MPa, σ2 = −62.43 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(22.43² − 22.43·(−62.43) + (−62.43)²) = 76.16 MPa
n = 420/76.16 = 5.515
答案
n = 5.515
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
11.梁的挠度
答案: δmax = 46.78 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 8000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·8000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 46.78 mm
答案
δmax = 46.78 mm
12.梁的挠度
答案: MA = 33.75 kN·m
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·30/16 = 9.375 kN
固定端的弯矩
荷载和支撑力对 A 取矩。
MA = P·L/2 − RB·L = 90 − 56.25 = 33.75 kN·m
答案
MA = 33.75 kN·m
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 3.731 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
计算长度
KL = 2·2500 = 5000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/5000² = 3731 N = 3.731 kN
答案
Pcr = 3.731 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 6.94 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/7.5 = 533.3
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533.3² = 6.94 MPa
答案
σcr = 6.94 MPa
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