材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa）放在一根黄铜管（外径 80 mm，内径 60 mm，E = 100 GPa）内。二者长度均为 800 mm，在刚性板之间被 150 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 150 kN杆: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根青铜管（外径 100 mm，内径 60 mm，E = 110 GPa，许用应力 50 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 P_max。

杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.轴的扭转中等

一根阶梯形实心钢轴在 A 端固定。AB 段直径 60 mm，长 0.8 m；BC 段直径 30 mm，长 1.2 m。自由端 C 作用 400 N·m 的扭矩。求轴中的最大切应力 τ_max。

T = 400 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0.8 md₂ = 30 mm, L₂ = 1.2 m

τ_max = MPa

4.轴的扭转困难

一根直径 25 mm 的实心钢轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 1.2 m、距 B 2.5 m 的 C 处施加 1000 N·m 的扭矩。求墙 A 处的反扭矩 T_A。

d = 25 mmT₀ = 1000 N·ma = 1.2 mb = 2.5 m

T_A = N·m

5.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mP₁ = 30 kN 位于 1 mP₂ = 70 kN 位于 2.5 m

M_max = kN·m

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 0 m60 kN @ 12 m50 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 250 mm、厚 24 mm，总高度 340 mm，腹板厚 6 mm。求其对水平形心轴 x 的惯性矩 I_x。

B = 250 mmH = 340 mmt_f = 24 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 240 mm 的板有一个宽 50 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 96 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 240 mm切口: 50 × 50 mm孔心: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换中等

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 70 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = 60 MPa，σ_z = 0。求该点的绝对最大切应力 τ_abs（考虑三维中所有平面）。

σ_x = 70 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 70 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 35° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 70 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。

P = 15 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 8 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 110 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 110 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.3773 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·2199 = 3.181 × 10⁸ N

缩短量

δ = 150000·800/3.181 × 10⁸ = 0.3773 mm

答案

δ = 0.3773 mm

2.轴向应力与应变

答案: P_max = 296 kN

面积

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5027 = 6.511 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.00125, 0.0004545) = 0.0004545 (青铜)

最大载荷

P_max = 0.0004545·6.511 × 10⁸ = 295952 N = 296 kN

答案

P_max = 296 kN

3.轴的扭转

答案: τ_max = 75.45 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

各段的应力

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·60³) = 9.431 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·30³) = 75.45 MPa

答案

τ_max = 75.45 MPa

4.轴的扭转

答案: T_A = 675.7 N·m

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。两端都固定时，仅靠静力学只能得到 T_A + T_B = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。

平衡和变形协调

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·2.5/3.7 = 675.7 N·m

T_B = 1000·1.2/3.7 = 324.3 N·m

答案

T_A = 675.7 N·m

5.剪力和弯矩

答案: M_max = 119.6 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1 + 70·2.5

R_B = 205/6 = 34.17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 34.17 = 65.83 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·1 = 65.83·1 = 65.83 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·3.5 = 34.17·3.5 = 119.6 kN·m

最大值

M_max = 119.6 kN·m (荷载点 P₂)

答案

M_max = 119.6 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 6.667 kN, R₂ = 113.3 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −20, M_C = −26.67, M_D = −133.3, M_E = −240 kN·m, M_F = −120, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −240 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 312.6 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 340 − 2·24 = 292 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·340³ − 244·292³)/12

I_x = 3.126 × 10⁸ mm⁴ = 312.6 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 312.6 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: I_x = 170.7 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (36000·120 − 2500·96)/(36000 − 2500) = 121.8 mm

完整的板关于 ȳ

150·240³/12 + 36000·−1.791² = 172.9 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

50·50³/12 + 2500·−25.79² = 2.184 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 170.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 170.7 × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_abs = 65 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σ_max − σ_min)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。

面内主应力

C = 70 MPa, R = √(0² + 60²) = 60 MPa

σ₁ = 130 MPa, σ₂ = 10 MPa, σ_z = 0

三个圆中最大的

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(120, 130, 10)/2 = 65 MPa

答案

τ_abs = 65 MPa

这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = 120.3 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

变换公式

σ_θ = 75 + −5·0.342 + 50·0.9397 = 120.3 MPa

答案

σ_θ = 120.3 MPa

11.梁的挠度

答案: δ = 18.48 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 15000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(3EI) = 15000·3000³/(3·8.4 × 10¹²) = 16.07 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 2.411 mm

相加

δ = 16.07 + 2.411 = 18.48 mm

答案

δ = 18.48 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 426.1 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·5000⁴/(384·11000·13.89) = 4.261 × 10⁸ mm⁴

I_req = 426.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 426.1 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 81 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1750² = 80996 N = 81 kN

答案

P_cr = 81 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 64.9 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·110000 = 275000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 64.9 mm

答案

d = 64.9 mm

校核：长细比 KL/r 为 154.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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