材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 60 mm，长 300 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.5 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 15 kN第 1 段：Ø35 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø12 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）

δ = mm

3.轴的扭转中等

一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根直径 60 mm 的实心铝轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 2 m、距 B 1 m 的 C 处施加 2000 N·m 的扭矩。求轴中的最大切应力 τ_max。

d = 60 mmT₀ = 2000 N·ma = 2 mb = 1 m

τ_max = MPa

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 8 m35 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 15 kN 位于 5 mw = 4 kN/m，从 0 到 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 240 mm 的板有一个宽 80 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 96 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 240 mm切口: 80 × 50 mm孔心: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = 120 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θ_s（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。

σ_x = 120 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 120 MPa，σᵧ = 20 MPa，τₓᵧ = 10 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 45° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 120 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: P = 174 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·2827) = 8.842 × 10⁻⁷ mm/N

载荷

P = 0.5/2.874 × 10⁻⁶ = 173996 N = 174 kN

答案

P = 174 kN

2.轴向应力与应变

答案: δ = 2.964 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 15.59 MPa

σ₂ = 132.6 MPa

叠加各段伸长量

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15.59·2000/100000 = 0.3118 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 132.6·2000/100000 = 2.653 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.964 mm

答案

δ = 2.964 mm

3.轴的扭转

答案: φ = 3.591 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(26000·613592) = 0.06268 rad

φ = 0.06268·180/π = 3.591°

答案

φ = 3.591°

4.轴的扭转

答案: τ_max = 31.44 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。两端都固定时，仅靠静力学只能得到 T_A + T_B = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。

平衡和变形协调

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·1/3 = 666.7 N·m

T_B = 2000·2/3 = 1333 N·m

最大切应力

两个扭矩中较大者起控制作用（直径相同）。

τ_max = 16·1.333 × 10⁶/(π·60³) = 31.44 MPa

答案

τ_max = 31.44 MPa

5.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 20.83 kN, R₂ = 24.17 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 41.67, M_C = 83.33, M_D = 125 kN·m, M_E = 96.67, M_F = 48.33, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 125 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 22.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·5 + 4·6·3

R_B = 147/6 = 24.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 24.5 = 14.5 kN

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 14.5·5 − 4·5·2.5 = 22.5 kN·m

答案

M_x = 22.5 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 5.871 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

腹板: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·125 + 2400·60)/3400 = 79.12 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·10³/12 + 1000·(125 − 79.12)² = 2.114 × 10⁶ mm⁴

腹板: 20·120³/12 + 2400·(60 − 79.12)² = 3.757 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.114 × 10⁶ + 3.757 × 10⁶ = 5.871 × 10⁶ mm⁴ = 5.871 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 5.871 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: I_x = 169.4 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (36000·120 − 4000·96)/(36000 − 4000) = 123 mm

完整的板关于 ȳ

150·240³/12 + 36000·−3² = 173.1 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

80·50³/12 + 4000·−27² = 3.749 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 169.4 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 169.4 × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_s = −29.2 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。

cos 2θ_s = 40/76.32 = 0.5241, sin 2θ_s = −65/76.32 = −0.8517

2θ_s = atan2(−65, 40) = −58.39°

单元体上的角度

θ_s = −29.2°

校核: θ_s − θ_p = −29.2 − 15.8 = −45°

答案

θ_s = −29.2°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = 80 MPa

变换公式

σ_θ = 70 + 50·0 + 10·1 = 80 MPa

答案

σ_θ = 80 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_max = 15.98 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 15.98 mm

答案

δ_max = 15.98 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 167.4 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·5000⁴/(384·70000·13.89) = 1.674 × 10⁸ mm⁴

I_req = 167.4 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 167.4 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 6.58 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

计算长度

KL = 1·4000 = 4000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/4000² = 6580 N = 6.58 kN

答案

P_cr = 6.58 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 4.819 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

回转半径和长细比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/6.25 = 640

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4.819 MPa

答案

σ_cr = 4.819 MPa

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