轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 30 mm，长 400 mm，E = 110 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.2 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 40 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 50 mm，长 400 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 80 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根长 0.5 m 的实心黄铜轴承受 500 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 3°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 500 N·mL = 0.5 mG = 39 GPaφallow = 3°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1500 rpm 下传递 75 kW，且切应力不超过 40 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 75 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 4.5 m 处承受集中荷载 P。 求在固定端 A 处的弯矩 MA。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP = 40 kN 位于 4.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 5 m
MA = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
15 kN @ 6 m15 kN @ 4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
一块 200 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 200 mmd = 30 mm孔心: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 50 MPa，容许压应力为 150 MPa。 求梁能承受的最大正弯矩 Mallow。
bf = 240 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 120 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −80 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。单元体按逆时针 20°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。
σx = −80 MPaσy = 100 MPaτxy = −30 MPaθ = 20°
σy′ = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −40 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 30° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −40 MPaσy = −70 MPaτxy = −30 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。 求荷载作用处的挠度 δP。
P = 15 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 19 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 13.61 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·706.9) = 5.144 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.2/1.469 × 10⁻⁵ = 13611 N = 13.61 kN
答案
P = 13.61 kN
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 18.83 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 80000·539961/1.168 × 10⁶ = 36975 N
应力
σ2 = 36975/1963 = 18.83 MPa （压缩）
答案
σ2 = 18.83 MPa
3.轴的扭转
答案: d = 33.42 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 3·π/180 = 0.05236 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·500/(39000·0.05236) = 122427 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 33.42 mm
答案
d = 33.42 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: d = 39.32 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 75000/157.1 = 477.5 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·477465/(π·40)) = 39.32 mm
答案
d = 39.32 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: MA = −242.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −40·4.5 = −180 kN·m
w: −5·5²/2 = −62.5 kN·m
MA = −180 − 62.5 = −242.5 kN·m
答案
MA = −242.5 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
6.剪力和弯矩
答案: F (x = 5 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 0 kN, R2 = 30 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 0, MC = 0, MD = 0, ME = 0, MF = −15 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = −15 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 132.1 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (40000·100 − 706.9·140)/(40000 − 706.9) = 99.28 mm
完整的板关于 ȳ
200·200³/12 + 40000·0.7196² = 133.4 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·30⁴/64 + 706.9·40.72² = 1.212 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 132.1 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 132.1 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Mallow = 3.882 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (3600·127.5 + 1920·60)/5520 = 104 mm
上边缘: c = 135 − 104 = 30.98 mm
惯性矩
I = 240·15³/12 + 3600·23.48² + 16·120³/12 + 1920·44.02² = 8.077 × 10⁶ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
正弯矩：上侧受压，下侧受拉。
上边缘: M = 150·8.077 × 10⁶/30.98 = 39.11 kN·m
下边缘: M = 50·8.077 × 10⁶/104 = 3.882 kN·m
控制值
Mallow = min = 3.882 kN·m (下边缘)
答案
Mallow = 3.882 kN·m
9.莫尔圆与应力变换
答案: σy′ = 98.23 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
y′ 面的变换公式
σy′ = 10 − (−90)·0.766 − (−30)·0.6428 = 98.23 MPa
校核
正应力之和不随旋转而变化。
σx′ = −78.23 MPa, σx′ + σy′ = 20 = σx + σy
答案
σy′ = 98.23 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −73.48 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −55 + 15·0.5 + −30·0.866 = −73.48 MPa
答案
σθ = −73.48 MPa
11.梁的挠度
答案: δP = 24.84 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 15000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa³/(3EI) = 15000·2000³/(3·1.61 × 10¹²) = 24.84 mm
答案
δP = 24.84 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 3.699 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 19000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 19000·3000³/(48·4.6 × 10¹²) = 2.323 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 1.376 mm
相加
δmax = 2.323 + 1.376 = 3.699 mm
答案
δmax = 3.699 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 9.212 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
计算长度
KL = 1·2000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/2000² = 9212 N = 9.212 kN
答案
Pcr = 9.212 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 1.079 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·6000 = 12000 mm
KL/r = 12000/15 = 800
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1.079 MPa
答案
σcr = 1.079 MPa
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