材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。

P = 105 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σ_max。

P = 40 kN第 1 段：Ø25 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø16 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）

σ_max = MPa

3.轴的扭转中等

一根长 3 m 的实心铝轴承受 250 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 1°。求满足该限值的最小直径 d。

T = 250 N·mL = 3 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 300 rpm 下传递 15 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 15 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 3 m10 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 7 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 30 kN 位于 7 mw = 3 kN/m，从 0 到 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 150 mm 的板有一个宽 30 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 150 mm切口: 30 × 50 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = 150 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θ_s（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。

σ_x = 150 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 40 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 50° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 25 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 25 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: ε = 2139 µε

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 105·1000/490.9 = 213.9 MPa

应变（胡克定律）

E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 213.9/100000 = 0.002139 = 2139 µε

答案

ε = 2139 µε

2.轴向应力与应变

答案: σ_max = 198.9 MPa

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 81.49 MPa

σ₂ = 198.9 MPa

最大应力

较细的一段面积较小，因此应力较大。

σ_max = 198.9 MPa

答案

σ_max = 198.9 MPa

3.轴的扭转

答案: d = 64.05 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

所需的极惯性矩

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0.01745 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·3000/(26000·0.01745) = 1.653 × 10⁶ mm⁴

直径

d = (32J/π)^1/4 = 64.05 mm

答案

d = 64.05 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

4.轴的扭转

答案: d = 34.35 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·60)) = 34.35 mm

答案

d = 34.35 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 54.17 kN, R₂ = 45.83 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 49.17, M_C = 88.33, M_D = 117.5 kN·m, M_E = 86.67, M_F = 45.83, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 117.5 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 36.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·7 + 3·8·4

R_B = 306/8 = 38.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 38.25 = 15.75 kN

在 x = 7 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 15.75·7 − 3·7·3.5 = 36.75 kN·m

答案

M_x = 36.75 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 20.74 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

腹板: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·175 + 2240·80)/9440 = 152.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·30³/12 + 7200·(175 − 152.5)² = 4.199 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·160³/12 + 2240·(80 − 152.5)² = 1.654 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.199 × 10⁶ + 1.654 × 10⁷ = 2.074 × 10⁷ mm⁴ = 20.74 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 20.74 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: I_x = 26.31 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (15000·75 − 1500·105)/(15000 − 1500) = 71.67 mm

完整的板关于 ȳ

100·150³/12 + 15000·3.333² = 28.29 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·50³/12 + 1500·33.33² = 1.979 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 26.31 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 26.31 × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_s = −67.5 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。

cos 2θ_s = −60/84.85 = −0.7071, sin 2θ_s = −60/84.85 = −0.7071

2θ_s = atan2(−60, −60) = −135°

单元体上的角度

θ_s = −67.5°

校核: θ_s − θ_p = −67.5 − (−22.5) = −45°

答案

θ_s = −67.5°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = 63.68 MPa

变换公式

σ_θ = 35 + 5·−0.1736 + 30·0.9848 = 63.68 MPa

答案

σ_θ = 63.68 MPa

11.梁的挠度

答案: θ_A = 0.003214 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 6·6000³/(24·1.68 × 10¹³) = 0.003214 rad

答案

θ_A = 0.003214 rad

即 0.1842°。

12.梁的挠度

答案: I_req = 2.531 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·200000·8.333) = 2.531 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2.531 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 2.531 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 27.56 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 2·1500 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27.56 kN

答案

P_cr = 27.56 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 26.8 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 26.8 mm

答案

d = 26.8 mm

校核：长细比 KL/r 为 149.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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