轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 65 kNd = 20 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 90 kN第 1 段：Ø25 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1.5 m，铝（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 200 N·md = 25 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 3000 rpm 下传递 15 kW。 其内径为外径的 0.7 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。
P = 15 kWN = 3000 rpmdi/do = 0.7τallow = 60 MPa
do = mm
5.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P。 求在距固定端 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 3 mP = 25 kN 位于 1 mw = 4 kN/m，从 0 到 3 mx = 0.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
30 kN @ 0 m25 kN @ 12 m10 kN @ 4 m12 kN/m, 2–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 140 mm、厚 22 mm，总高度 500 mm，腹板厚 10 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 150 kN·m。 求腹板与上翼缘交界处弯曲应力 σj 的大小。
B = 140 mmH = 500 mmtf = 22 mmtw = 10 mmM = 150 kN·m
σj = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −20 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = 10 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −20 MPaσy = −10 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 70 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 35° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 70 MPaσy = 90 MPaτxy = 50 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁在距支座 B 为 b = 1 m 处承受集中荷载 P。 求梁的最大挠度 δmax。
P = 11 kNb = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 40 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 40 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 1.768 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 65·1000/314.2 = 206.9 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 206.9/117000 = 0.001768 = 1768 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.001768·1000 mm = 1.768 mm
答案
δ = 1.768 mm
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 286.5 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 183.3 MPa
σ2 = 286.5 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 286.5 MPa
答案
σmax = 286.5 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 22.99 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(39000·38350) = 0.4012 rad
φ = 0.4012·180/π = 22.99°
答案
φ = 22.99°
4.轴的扭转
答案: do = 17.47 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 15000/314.2 = 47.75 N·m
由容许应力求外径
T = 47.75 N·m = 47746 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·60·0.7599)) = 17.47 mm
di = 0.7·17.47 = 12.23 mm
答案
do = 17.47 mm
实心轴需要 d = 15.94 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −25·0.5 = −12.5 kN·m
w: −4·2.5²/2 = −12.5 kN·m
Mx = −12.5 − 12.5 = −25 kN·m
答案
Mx = −25 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 8 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 66 kN, R2 = 71 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −60, MC = −12, MD = −32, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −100 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 40.1 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
腹板: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5600·250 + 2400·120)/8000 = 211 mm
平行移轴定理
翼缘: 280·20³/12 + 5600·(250 − 211)² = 8.704 × 10⁶ mm⁴
腹板: 10·240³/12 + 2400·(120 − 211)² = 3.139 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.704 × 10⁶ + 3.139 × 10⁷ = 4.01 × 10⁷ mm⁴ = 40.1 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 40.1 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σj = 79.33 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 500 − 2·22 = 456 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·500³ − 130·456³)/12
Ix = 4.311 × 10⁸ mm⁴
弯曲应力
y = 250 − 22 = 228 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁸·228/4.311 × 10⁸ = 79.33 MPa
答案
σj = 79.33 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 11.18 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−20 − −10)/2)² + 10²) = 11.18 MPa
答案
τmax = 11.18 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 123.6 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 80 + −10·0.342 + 50·0.9397 = 123.6 MPa
答案
σθ = 123.6 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 1.586 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 1.586 mm
答案
δmax = 1.586 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 7.764 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 11000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
最大值的位置
令较长段内的转角为零，即可得到该位置。
x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm
最大挠度
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 7.764 mm
答案
δmax = 7.764 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 9.646 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 2·6000 = 12000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/12000² = 9646 N = 9.646 kN
答案
Pcr = 9.646 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 37.3 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·40000 = 120000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 37.3 mm
答案
d = 37.3 mm
校核：长细比 KL/r 为 134.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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