轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 80 mm，内径 60 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 500 mm，在刚性板之间被 300 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 300 kN杆: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 90 kN第 1 段：Ø40 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø16 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根阶梯形实心黄铜轴在 A 端固定。AB 段直径 60 mm，长 1.5 m；BC 段直径 50 mm，长 0.8 m。自由端 C 作用 500 N·m 的扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
T = 500 N·md1 = 60 mm, L1 = 1.5 md2 = 50 mm, L2 = 0.8 m
τmax = MPa
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心铝轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 3 m、距 B 2 m 的 C 处施加 2000 N·m 的扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 40 mmT0 = 2000 N·ma = 3 mb = 2 m
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P。 求在固定端 A 处的弯矩 MA。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP = 60 kN 位于 2 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 m
MA = kN·m
6.剪力和弯矩困难
简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求从 A 到弯矩最大截面的距离 x0。
L = 10 mw = 24 kN/m，从 3 到 6 m
x0 = m
7.形心和惯性矩中等
一块 120 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 130 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 200 mmd = 30 mm孔心: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 40 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。
bf = 220 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 220 mmM = 40 kN·m
σ底部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 70 MPa，σᵧ = 20 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 70 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 160 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 15° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 160 MPaσy = −10 MPaτxy = 50 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。
w = 20 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 hreq。
w = 4 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 25 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.595 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·2199 = 2.521 × 10⁸ N
缩短量
δ = 300000·500/2.521 × 10⁸ = 0.595 mm
答案
δ = 0.595 mm
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 447.6 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 71.62 MPa
σ2 = 447.6 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 447.6 MPa
答案
σmax = 447.6 MPa
3.轴的扭转
答案: τmax = 20.37 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
各段的应力
T = 500 N·m = 500000 N·mm
τAB = 16·500000/(π·60³) = 11.79 MPa
τBC = 16·500000/(π·50³) = 20.37 MPa
答案
τmax = 20.37 MPa
4.轴的扭转
答案: τmax = 95.49 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·2/5 = 800 N·m
TB = 2000·3/5 = 1200 N·m
最大切应力
两个扭矩中较大者起控制作用（直径相同）。
τmax = 16·1.2 × 10⁶/(π·40³) = 95.49 MPa
答案
τmax = 95.49 MPa
5.剪力和弯矩
答案: MA = −270 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −60·2 = −120 kN·m
w: −12·5²/2 = −150 kN·m
MA = −120 − 150 = −270 kN·m
答案
MA = −270 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
6.剪力和弯矩
答案: x0 = 4.65 m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN，作用于 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 24·3·4.5
RB = 324/10 = 32.4 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 32.4 = 39.6 kN
剪力为零
剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。
RA − w·(x0 − 3) = 0
x0 = 3 + 39.6/24 = 4.65 m
答案
x0 = 4.65 m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 79.3 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (24000·100 − 706.9·130)/(24000 − 706.9) = 99.09 mm
完整的板关于 ȳ
120·200³/12 + 24000·0.9104² = 80.02 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·30⁴/64 + 706.9·30.91² = 0.7151 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 79.3 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 79.3 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σ底部 = 296.1 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 220·25 = 5500 mm², yf = 220 + 25/2 = 232.5 mm
腹板: Aw = 8·220 = 1760 mm², yw = 220/2 = 110 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5500·232.5 + 1760·110)/7260 = 202.8 mm
平行移轴定理
翼缘: 220·25³/12 + 5500·(232.5 − 202.8)² = 5.137 × 10⁶ mm⁴
腹板: 8·220³/12 + 1760·(110 − 202.8)² = 2.226 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.137 × 10⁶ + 2.226 × 10⁷ = 2.739 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
底边距中性轴 ȳ。
y = 202.8 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·202.8/2.739 × 10⁷ = 296.1 MPa
答案
σ底部 = 296.1 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 39.05 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((70 − 20)/2)² + 30²) = 39.05 MPa
答案
τmax = 39.05 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 173.6 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 75 + 85·0.866 + 50·0.5 = 173.6 MPa
答案
σθ = 173.6 MPa
11.梁的挠度
答案: θA = 0.01324 rad
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 20 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
端部转角
θA = wL³/(24EI) = 20·3000³/(24·1.7 × 10¹²) = 0.01324 rad
答案
θA = 0.01324 rad
即 0.7583°。
12.梁的挠度
答案: hreq = 218 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/250 = 4500/250 = 18 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·4500⁴/(384·11000·18) = 1.079 × 10⁸ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.079 × 10⁸/125)1/3 = 218 mm
答案
hreq = 218 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 3.139 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 1·5000 = 5000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3.139 kN
答案
Pcr = 3.139 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 6.12 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
回转半径和长细比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/6.25 = 336
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/336² = 6.12 MPa
答案
σcr = 6.12 MPa
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