材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。

P = 120 kNd = 10 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σ_max。

P = 45 kN第 1 段：Ø40 mm，1 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）

σ_max = MPa

3.轴的扭转中等

一根阶梯形实心钢轴在 A 端固定。AB 段直径 75 mm，长 3 m；BC 段直径 60 mm，长 1.2 m。自由端 C 作用 2000 N·m 的扭矩。求端部 C 的扭转角 φ_C，以度表示。

T = 2000 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 3 md₂ = 60 mm, L₂ = 1.2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 300 rpm 下传递 100 kW，且切应力不超过 50 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 100 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 5 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 50 kN 位于 5 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 m

M_A = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 8 mP = 15 kN 位于 1 mw = 4 kN/m，从 0 到 8 m

M_max = kN·m

7.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 120 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 180 mm。底板和两肢厚度均为 14 mm。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b = 120 mmh = 180 mmt = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

焊接工字形截面的上翼缘为 190 × 14 mm，腹板高 390 mm、厚 12 mm，下翼缘为 250 × 16 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

上翼缘: 190 × 14 mm腹板: 12 × 390 mm下翼缘: 250 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 90 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θ_p，取值在 −90° 到 90° 之间。

σ_x = 90 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.莫尔圆与应力变换困难

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 110 MPa，σᵧ = 100 MPa，τₓᵧ = 10 MPa（σ_z = 0）。材料的屈服强度为 300 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。

σ_x = 110 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 30 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 30 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: ε = 13059 µε

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 120·1000/78.54 = 1528 MPa

应变（胡克定律）

E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1528/117000 = 0.01306 = 13059 µε

答案

ε = 13059 µε

2.轴向应力与应变

答案: σ_max = 397.9 MPa

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 35.81 MPa

σ₂ = 397.9 MPa

最大应力

较细的一段面积较小，因此应力较大。

σ_max = 397.9 MPa

答案

σ_max = 397.9 MPa

3.轴的扭转

答案: φ_C = 2.734 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J₁ = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

各段的扭转角

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 2 × 10⁶·3000/(80000·3.106 × 10⁶) = 0.02414 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·1200/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.02358 rad

总扭转角

φ_C = 0.02414 + 0.02358 = 0.04772 rad = 2.734°

答案

φ_C = 2.734°

4.轴的扭转

答案: d = 68.7 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 100000/31.42 = 3183 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·3.183 × 10⁶/(π·50)) = 68.7 mm

答案

d = 68.7 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: M_A = −400 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −50·5 = −250 kN·m

w: −12·5²/2 = −150 kN·m

M_A = −250 − 150 = −400 kN·m

答案

M_A = −400 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 39.94 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·1 + 4·8·4

R_B = 143/8 = 17.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 47 − 17.88 = 29.13 kN

V = 0 在哪里？

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (29.13 − 15)/4 = 3.531 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 39.94 kN·m

答案

M_max = 39.94 kN·m

它出现在距 A 为 x = 3.531 m 处。

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 20.7 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 120·14 = 1680 mm², y₁ = 7 mm

两肢: A₂ = 2·14·166 = 4648 mm², y₂ = 14 + 166/2 = 97 mm

形心

ȳ = (1680·7 + 4648·97)/6328 = 73.11 mm

平行移轴定理

基质: 120·14³/12 + 1680·(7 − 73.11)² = 7.369 × 10⁶ mm⁴

两肢: 2·14·166³/12 + 4648·(97 − 73.11)² = 1.333 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.369 × 10⁶ + 1.333 × 10⁷

I_x = 2.07 × 10⁷ mm⁴ = 20.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 20.7 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: I_x = 326.2 × 10⁶ mm⁴

分成三个矩形

每个 y 都从底边量起。

上翼缘: A = 2660 mm², y = 413 mm

腹板: A = 4680 mm², y = 211 mm

下翼缘: A = 4000 mm², y = 8 mm

形心

ȳ = (2660·413 + 4680·211 + 4000·8)/11340 = 186.8 mm

平行移轴定理

上翼缘: 190·14³/12 + 2660·226.2² = 1.362 × 10⁸ mm⁴

腹板: 12·390³/12 + 4680·24.22² = 6.206 × 10⁷ mm⁴

下翼缘: 250·16³/12 + 4000·178.8² = 1.279 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1.362 × 10⁸ + 6.206 × 10⁷ + 1.279 × 10⁸

I_x = 3.262 × 10⁸ mm⁴ = 326.2 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 326.2 × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_p = 24.01 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θ_p = atan2(2·50, 90 − 0) = 48.01°

单元体上的角度

θ_p = 24.01°

答案

θ_p = 24.01°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: n = 2.81

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σ_Y 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σ_Y/2 时屈服。

主应力

C = 105 MPa, R = 11.18 MPa

σ₁ = 116.2 MPa, σ₂ = 93.82 MPa, σ₃ = 0

冯·米塞斯

σ_vM = √(116.2² − 116.2·93.82 + 93.82²) = 106.8 MPa

n = 300/106.8 = 2.81

答案

n = 2.81

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

11.梁的挠度

答案: δ = 79.05 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·2.53 × 10¹¹) = 79.05 mm

答案

δ = 79.05 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 46.02 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8.333) = 4.602 × 10⁷ mm⁴

I_req = 46.02 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 46.02 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 38.86 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

计算长度

KL = 2·1000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2000² = 38862 N = 38.86 kN

答案

P_cr = 38.86 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 89.33 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 89.33 mm

答案

d = 89.33 mm

校核：长细比 KL/r 为 268.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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