轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根铜管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 120 GPa）内。二者长度均为 300 mm，在刚性板之间被 50 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 50 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 45 kN第 1 段：Ø35 mm，0.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根长 3 m 的实心黄铜轴承受 1000 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 2°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 1000 N·mL = 3 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根直径 25 mm 的实心黄铜轴在 A 端固定。距 A 1.2 m 的 B 处作用 1500 N·m 的扭矩，再往前 1.5 m 的自由端 C 处作用一个反向的 500 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。
d = 25 mmTB = 1500 N·mTC = 500 N·mAB = 1.2 mBC = 1.5 mG = 39 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 3 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 30 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mM0 = 30 kN·m 顺时针，作用于 3 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求支座 B 处的弯矩 MB。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 7 mw = 10 kN/m，从 0 到 7 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m
MB = kN·m
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 240 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。
bf = 140 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 300 mmM = 20 kN·m
σ底部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 10 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 10 MPaσy = −60 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 160 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = 160 MPaσy = 110 MPaτxy = 20 MPa
σvM = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 8 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁在距支座 B 为 b = 1 m 处承受集中荷载 P。 求跨中挠度 δmid。
P = 3 kNb = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.01447 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·7461 = 1.037 × 10⁹ N
缩短量
δ = 50000·300/1.037 × 10⁹ = 0.01447 mm
答案
δ = 0.01447 mm
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 143.2 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 46.77 MPa
σ2 = 143.2 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 143.2 MPa
答案
σmax = 143.2 MPa
3.轴的扭转
答案: d = 68.83 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0.03491 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·3000/(39000·0.03491) = 2.204 × 10⁶ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 68.83 mm
答案
d = 68.83 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: φC = 17.24 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC − TB = 500 − 1500 = −1000 N·m
各段的扭转角
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = −1 × 10⁶·1200/(39000·38350) = −0.8023 rad
φBC = 500000·1500/(39000·38350) = 0.5015 rad
端部 C 的扭转角
φC = −0.8023 + 0.5015 = −0.3009 rad → |φC| = 17.24°
答案
φC = 17.24°
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −9 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 30/10 = 3 kN (向上)
RA = −RB = −3 kN (向下)
在力偶左侧紧邻处截开
左侧部分只包含 RA。
Mx = RA·a = −3·3 = −9 kN·m
答案
Mx = −9 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: MB = −20 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·7 = 70 kN，作用于 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·7·3.5
RB = 245/5 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 49 = 21 kN
在 B 处截开，保留外伸段
外伸段上的荷载 w·a 作用在距 B 为 a/2 处，使梁在支座上方产生负弯矩。
MB = −w·a²/2 = −10·2²/2 = −20 kN·m
答案
MB = −20 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 89 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 240·20 = 4800 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm
腹板: Aw = 14·300 = 4200 mm², yw = 300/2 = 150 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·310 + 4200·150)/9000 = 235.3 mm
平行移轴定理
翼缘: 240·20³/12 + 4800·(310 − 235.3)² = 2.692 × 10⁷ mm⁴
腹板: 14·300³/12 + 4200·(150 − 235.3)² = 6.208 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.692 × 10⁷ + 6.208 × 10⁷ = 8.9 × 10⁷ mm⁴ = 89 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 89 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σ底部 = 49.74 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 140·15 = 2100 mm², yf = 300 + 15/2 = 307.5 mm
腹板: Aw = 18·300 = 5400 mm², yw = 300/2 = 150 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2100·307.5 + 5400·150)/7500 = 194.1 mm
平行移轴定理
翼缘: 140·15³/12 + 2100·(307.5 − 194.1)² = 2.704 × 10⁷ mm⁴
腹板: 18·300³/12 + 5400·(150 − 194.1)² = 5.1 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.704 × 10⁷ + 5.1 × 10⁷ = 7.805 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
底边距中性轴 ȳ。
y = 194.1 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·194.1/7.805 × 10⁷ = 49.74 MPa
答案
σ底部 = 49.74 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 27.5 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·50, 10 − −60) = 55.01°
单元体上的角度
θp = 27.5°
答案
θp = 27.5°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 145.9 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 135 MPa, R = 32.02 MPa
σ1 = 167 MPa, σ2 = 103 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(167² − 167·103 + 103²) = 145.9 MPa
答案
σvM = 145.9 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 2.035 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 5000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·3.2 × 10¹³) = 2.035 mm
答案
δmax = 2.035 mm
12.梁的挠度
答案: δmid = 17.54 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 3000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²
跨中挠度
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 3000·1000·(3·5000² − 4·1000²)/(48·2.53 × 10¹¹) = 17.54 mm
答案
δmid = 17.54 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 11.24 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
计算长度
KL = 2·1000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2000² = 11245 N = 11.24 kN
答案
Pcr = 11.24 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 2.763 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/10 = 500
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2.763 MPa
答案
σcr = 2.763 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials