轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 60 mm，长 400 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 25 kN第 1 段：Ø35 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 1500 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.8 倍，切应力不得超过 75 MPa。求最小外径 do。
T = 1500 N·mdi/do = 0.8τallow = 75 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1800 rpm 下传递 100 kW，且切应力不超过 75 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 100 kWN = 1800 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
25 kN @ 4 m8 kN/m, 2–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
45 kN @ 0 m50 kN @ 12 m40 kN @ 8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 200 mm × 150 mm 的板有一个宽 30 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 150 mm切口: 30 × 30 mm孔心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 10 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 10 MPaσy = 110 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 130 MPa，σᵧ = 60 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = 130 MPaσy = 60 MPaτxy = −20 MPa
σvM = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 17 kNa = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。
L = 3 mP = 20 kN 位于 1.5 m
MA = kN·m
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 95 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 95 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 65.75 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·2827) = 1.415 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.25/3.802 × 10⁻⁶ = 65754 N = 65.75 kN
答案
P = 65.75 kN
2.轴向应力与应变
答案: δ = 1.353 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 25.98 MPa
σ2 = 79.58 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 25.98·1500/117000 = 0.3331 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 79.58·1500/117000 = 1.02 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.353 mm
答案
δ = 1.353 mm
3.轴的扭转
答案: do = 55.67 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.5 × 10⁶/(π·75·0.5904)) = 55.67 mm
di = 0.8·55.67 = 44.54 mm
答案
do = 55.67 mm
实心轴需要 d = 46.7 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: d = 33.03 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 100000/188.5 = 530.5 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·530516/(π·75)) = 33.03 mm
答案
d = 33.03 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 19 kN, R2 = 38 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 19, MC = 38, MD = 53, ME = 60 kN·m, MF = 34, MG = 0
答案
标记点 E: ME = 60 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: F (x = 10 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 53.75 kN, R2 = 81.25 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −90, MC = −72.5, MD = −55, ME = −37.5, MF = −100 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = −100 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 40.72 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
腹板: Aw = 16·240 = 3840 mm², yw = 240/2 = 120 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·250 + 3840·120)/5840 = 164.5 mm
平行移轴定理
翼缘: 100·20³/12 + 2000·(250 − 164.5)² = 1.468 × 10⁷ mm⁴
腹板: 16·240³/12 + 3840·(120 − 164.5)² = 2.604 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.468 × 10⁷ + 2.604 × 10⁷ = 4.072 × 10⁷ mm⁴ = 40.72 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 40.72 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 55.35 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (30000·75 − 900·105)/(30000 − 900) = 74.07 mm
完整的板关于 ȳ
200·150³/12 + 30000·0.9278² = 56.28 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
30·30³/12 + 900·30.93² = 0.9284 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 55.35 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 55.35 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −79.1 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−20, 10 − 110) = −158.2°
单元体上的角度
θp = −79.1°
答案
θp = −79.1°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 117.9 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 95 MPa, R = 40.31 MPa
σ1 = 135.3 MPa, σ2 = 54.69 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(135.3² − 135.3·54.69 + 54.69²) = 117.9 MPa
答案
σvM = 117.9 MPa
11.梁的挠度
答案: δP = 39.68 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 17000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 17000·1000²·5000²/(3·5.95 × 10¹¹·6000) = 39.68 mm
答案
δP = 39.68 mm
12.梁的挠度
答案: MA = 11.25 kN·m
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·20/16 = 6.25 kN
固定端的弯矩
荷载和支撑力对 A 取矩。
MA = P·L/2 − RB·L = 30 − 18.75 = 11.25 kN·m
答案
MA = 11.25 kN·m
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 8.996 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
计算长度
KL = 1·2000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2000² = 8996 N = 8.996 kN
答案
Pcr = 8.996 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 52.34 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·95000 = 237500 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 52.34 mm
答案
d = 52.34 mm
校核：长细比 KL/r 为 133.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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