材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。

P = 40 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.轴向应力与应变困难

一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根铝管（外径 100 mm，内径 60 mm，E = 70 GPa，许用应力 50 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 P_max。

杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.轴的扭转中等

在扭转试验中，一根直径 20 mm 的实心试件受 50 N·m 的扭矩作用。标距 250 mm 两端的相对转角为 1.17°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。

T = 50 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 1.17°

G = GPa

4.轴的扭转困难

一根直径 25 mm 的实心黄铜轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 3 m、距 B 1.5 m 的 C 处施加 500 N·m 的扭矩。求轴中的最大切应力 τ_max。

d = 25 mmT₀ = 500 N·ma = 3 mb = 1.5 m

τ_max = MPa

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 8 kN/m，从 0 到 4 mx = 3.5 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求支座 B 处的弯矩 M_B。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5.5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m

M_B = kN·m

7.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 300 mmd = 30 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 10 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 10 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = 90 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θ_s（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。

σ_x = 90 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 140 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 15° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 140 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 5 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (结构木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: ε = 3023 µε

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 40·1000/113.1 = 353.7 MPa

应变（胡克定律）

E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 353.7/117000 = 0.003023 = 3023 µε

答案

ε = 3023 µε

2.轴向应力与应变

答案: P_max = 430.8 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5027 = 6.032 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.00125, 0.0007143) = 0.0007143 (铝)

最大载荷

P_max = 0.0007143·6.032 × 10⁸ = 430847 N = 430.8 kN

答案

P_max = 430.8 kN

3.轴的扭转

答案: G = 38.97 GPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩和角度

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1.17·π/180 = 0.02042 rad

剪切模量

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·250/(15708·0.02042) = 38970 MPa

G = 38.97 GPa

答案

G = 38.97 GPa

作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。

4.轴的扭转

答案: τ_max = 108.6 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。两端都固定时，仅靠静力学只能得到 T_A + T_B = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。

平衡和变形协调

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·1.5/4.5 = 166.7 N·m

T_B = 500·3/4.5 = 333.3 N·m

最大切应力

两个扭矩中较大者起控制作用（直径相同）。

τ_max = 16·333333/(π·25³) = 108.6 MPa

答案

τ_max = 108.6 MPa

5.剪力和弯矩

答案: V_x = −12 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 16 − 8·3.5 = −12 kN

答案

V_x = −12 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_B = −2.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5.5 = 11 kN，作用于 x̄ = 2.75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·5.5·2.75

R_B = 30.25/4 = 7.563 kN

ΣF_y = 0: R_A = 11 − 7.563 = 3.438 kN

在 B 处截开，保留外伸段

外伸段上的荷载 w·a 作用在距 B 为 a/2 处，使梁在支座上方产生负弯矩。

M_B = −w·a²/2 = −2·1.5²/2 = −2.25 kN·m

答案

M_B = −2.25 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 268.5 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (36000·150 − 706.9·105)/(36000 − 706.9) = 150.9 mm

完整的板关于 ȳ

120·300³/12 + 36000·−0.9013² = 270 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−45.9² = 1.529 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 268.5 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 268.5 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 19.4 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

腹板: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·190 + 1800·90)/7000 = 164.3 mm

平行移轴定理

翼缘: 260·20³/12 + 5200·(190 − 164.3)² = 3.612 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·180³/12 + 1800·(90 − 164.3)² = 1.479 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.612 × 10⁶ + 1.479 × 10⁷ = 1.84 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 200 − 164.3 = 35.71 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·35.71/1.84 × 10⁷ = 19.4 MPa

答案

σ_顶部 = 19.4 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_s = −67.5 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。

cos 2θ_s = −40/56.57 = −0.7071, sin 2θ_s = −40/56.57 = −0.7071

2θ_s = atan2(−40, −40) = −135°

单元体上的角度

θ_s = −67.5°

校核: θ_s − θ_p = −67.5 − (−22.5) = −45°

答案

θ_s = −67.5°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = 148.3 MPa

变换公式

σ_θ = 90 + 50·0.866 + 30·0.5 = 148.3 MPa

答案

σ_θ = 148.3 MPa

11.梁的挠度

答案: δ = 4.069 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·7.2 × 10¹²) = 4.069 mm

答案

δ = 4.069 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 1091 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·8000⁴/(384·11000·22.22) = 1.091 × 10⁹ mm⁴

I_req = 1091 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 1091 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 77.72 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

计算长度

KL = 1·1000 = 1000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/1000² = 77723 N = 77.72 kN

答案

P_cr = 77.72 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 11.05 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa

答案

σ_cr = 11.05 MPa

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