材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 50 mm，长 300 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 80 kN第 1 段：Ø25 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø20 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）

δ = mm

3.轴的扭转中等

一根阶梯形实心钢轴在 A 端固定。AB 段直径 50 mm，长 1.5 m；BC 段直径 40 mm，长 1 m。自由端 C 作用 100 N·m 的扭矩。求端部 C 的扭转角 φ_C，以度表示。

T = 100 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1.5 md₂ = 40 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 3000 rpm 下传递 5 kW，且切应力不超过 50 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 5 kWN = 3000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 5.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 10 kN/m，从 0 到 8 mx = 5.5 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 35 kN 位于 4 mw = 8 kN/m，从 0 到 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 52.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mm孔心: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 35 MPa，容许压应力为 100 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.莫尔圆与应力变换中等

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 50 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = 10 MPa，σ_z = 0。求该点的绝对最大切应力 τ_abs（考虑三维中所有平面）。

σ_x = 50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −30 MPa，σᵧ = 60 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（σ_z = 0）。材料的屈服强度为 420 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。

σ_x = −30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2.5 m 处承受集中荷载 P。求自由端 B 处的挠度 δ_B。

P = 4 kNa = 2.5 mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 3 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: P = 39.95 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1963) = 2.183 × 10⁻⁶ mm/N

载荷

P = 0.25/6.257 × 10⁻⁶ = 39955 N = 39.95 kN

答案

P = 39.95 kN

2.轴向应力与应变

答案: δ = 3.081 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 163 MPa

σ₂ = 254.6 MPa

叠加各段伸长量

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 163·1500/100000 = 2.445 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 254.6·500/200000 = 0.6366 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3.081 mm

答案

δ = 3.081 mm

3.轴的扭转

答案: φ_C = 0.46 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

各段的扭转角

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 100000·1500/(80000·613592) = 0.003056 rad

φ_BC = 100000·1000/(80000·251327) = 0.004974 rad

总扭转角

φ_C = 0.003056 + 0.004974 = 0.008029 rad = 0.46°

答案

φ_C = 0.46°

4.轴的扭转

答案: d = 11.75 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 5000/314.2 = 15.92 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·15915/(π·50)) = 11.75 mm

答案

d = 11.75 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: V_x = −15 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

在 x = 5.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 40 − 10·5.5 = −15 kN

答案

V_x = −15 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 134 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·4 + 8·8·4

R_B = 396/8 = 49.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 99 − 49.5 = 49.5 kN

在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 49.5·4 − 8·4·2 = 134 kN·m

答案

M_x = 134 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 40.79 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (22500·75 − 1963·52.5)/(22500 − 1963) = 77.15 mm

完整的板关于 ȳ

150·150³/12 + 22500·−2.151² = 42.29 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−24.65² = 1.5 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 40.79 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 40.79 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: M_allow = 8.13 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (6600·275 + 2600·130)/9200 = 234 mm

上边缘: c = 290 − 234 = 55.98 mm

惯性矩

I = 220·30³/12 + 6600·40.98² + 10·260³/12 + 2600·104² = 5.436 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 100·5.436 × 10⁷/55.98 = 97.11 kN·m

下边缘: M = 35·5.436 × 10⁷/234 = 8.13 kN·m

控制值

M_allow = min = 8.13 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 8.13 kN·m

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_abs = 37.07 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σ_max − σ_min)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。

面内主应力

C = 60 MPa, R = √((−10)² + 10²) = 14.14 MPa

σ₁ = 74.14 MPa, σ₂ = 45.86 MPa, σ_z = 0

三个圆中最大的

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(28.28, 74.14, 45.86)/2 = 37.07 MPa

答案

τ_abs = 37.07 MPa

这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。

10.莫尔圆与应力变换

答案: n = 4.85

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σ_Y 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σ_Y/2 时屈服。

主应力

C = 15 MPa, R = 49.24 MPa

σ₁ = 64.24 MPa, σ₂ = −34.24 MPa, σ₃ = 0

冯·米塞斯

σ_vM = √(64.24² − 64.24·(−34.24) + (−34.24)²) = 86.6 MPa

n = 420/86.6 = 4.85

答案

n = 4.85

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

11.梁的挠度

答案: δ_B = 6.788 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 4000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δ_P = Pa³/(3EI) = 5.221 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.003133 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 6.788 mm

答案

δ_B = 6.788 mm

12.梁的挠度

答案: δ_max = 1.957 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 3000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·2000³/(48·1.32 × 10¹²) = 0.3788 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 1.578 mm

相加

δ_max = 0.3788 + 1.578 = 1.957 mm

答案

δ_max = 1.957 mm

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 34.33 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1050² = 34331 N = 34.33 kN

答案

P_cr = 34.33 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 4.441 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666.7

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666.7² = 4.441 MPa

答案

σ_cr = 4.441 MPa

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