材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等
P = ?12400 mm200 mmØ25Ø60δ = 0.4 mm

一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 60 mm，长 200 mm，E = 110 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
Ø 25 mm铜1.5 mØ 16 mm钢0.5 mP = 70 kN

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 70 kN第 1 段：Ø25 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø16 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
T = 1000 N·md = 30 mmL = 0.8 mφ = ?

一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
do​ = ?15 kW, 750 rpm

一根空心轴须在 750 rpm 下传递 15 kW。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 80 MPa。求最小外径 do。

P = 15 kWN = 750 rpmdi/do = 0.75τallow = 80 MPa
do = mm
5.剪力和弯矩中等
P1​ = 45 kNP2​ = 15 kNABC5 m3 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP1 = 45 kN 位于 5 mP2 = 15 kN 位于 10 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
w = 2 kN/mP = 35 kNAB截面1.5 m3.5 m

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 35 kN 位于 1.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
100 mm150 mm97.5 mmØ60xIx​ = ?

一块 100 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 97.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 100 mmh = 150 mmd = 60 mm孔心: y = 97.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
1002016014xM = 20 kN·m尺寸单位为 mm

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。

bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 160 mmM = 20 kN·m
σ顶部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = −30σy​ = −20MPaτxy​ = ?

某点 σₓ = −30 MPa、σᵧ = −20 MPa。在最大主应力达到 −5 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？

σx = −30 MPaσy = −20 MPaσ1 = −5 MPa
τxy = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
σx​τxy​轴的表面

一根直径 20 mm 的实心轴承受40 kN 的轴向拉力，同时承受 400 N·m 的扭矩。 在轴的表面处， 求最大主应力 σ1。

d = 20 mmF = 40 kNT = 400 N·m
σ1 = MPa
11.梁的挠度中等
w = 8 kN/mδL = 2.5 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 8 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
w = 8 kN/mδL = 8 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
PL = 5 m50 × 100 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
PL = 2.5 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
σcr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: P = 84.79 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·2827) = 6.431 × 10⁻⁷ mm/N

载荷

P = 0.4/4.717 × 10⁻⁶ = 84792 N = 84.79 kN

答案

P = 84.79 kN
2.轴向应力与应变

答案: δ = 2.699 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 142.6 MPa
σ2 = 348.2 MPa

叠加各段伸长量

δ1 = σ1L1/E1 = 142.6·1500/117000 = 1.828 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 348.2·500/200000 = 0.8704 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.699 mm

答案

δ = 2.699 mm
3.轴的扭转

答案: φ = 7.205 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(80000·79522) = 0.1258 rad
φ = 0.1258·180/π = 7.205°

答案

φ = 7.205°
4.轴的扭转

答案: do = 26.1 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 15000/78.54 = 191 N·m

由容许应力求外径

T = 191 N·m = 190986 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·80·0.6836)) = 26.1 mm
di = 0.75·26.1 = 19.58 mm

答案

do = 26.1 mm

实心轴需要 d = 22.99 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

5.剪力和弯矩

答案: Mx = 65.63 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣMA = 0: RB·8 = 45·5 + 15·10
RB = 375/8 = 46.88 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 46.88 = 13.13 kN

在 P1 处截开，保留左侧部分

Mx = RA·5 = 13.13·5 = 65.63 kN·m

答案

Mx = 65.63 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: Mx = 42 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·1.5 + 2·5·2.5
RB = 77.5/5 = 15.5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 15.5 = 29.5 kN
w = 2 kN/mP = 35 kNABRA​ = 29.5RB​ = 15.5截面1.5 m3.5 m

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 29.5·1.5 − 2·1.5·0.75 = 42 kN·m

答案

Mx = 42 kN·m
7.形心和惯性矩

答案: Ix = 25.72 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (15000·75 − 2827·97.5)/(15000 − 2827) = 69.77 mm

完整的板关于 ȳ

100·150³/12 + 15000·5.226² = 28.53 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·27.73² = 2.81 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 25.72 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 25.72 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩

答案: σ顶部 = 85.87 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 160 + 20/2 = 170 mm
腹板: Aw = 14·160 = 2240 mm², yw = 160/2 = 80 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·170 + 2240·80)/4240 = 122.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·20³/12 + 2000·(170 − 122.5)² = 4.588 × 10⁶ mm⁴
腹板: 14·160³/12 + 2240·(80 − 122.5)² = 8.816 × 10⁶ mm⁴
Ix = 4.588 × 10⁶ + 8.816 × 10⁶ = 1.34 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 180 − 122.5 = 57.55 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·57.55/1.34 × 10⁷ = 85.87 MPa

答案

σ顶部 = 85.87 MPa
9.莫尔圆与应力变换

答案: τxy = 19.36 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

所需半径

C = (−30 + (−20))/2 = −25 MPa
R = σ1 − C = −5 − (−25) = 20 MPa
στxyCσ1​σ2​

切应力

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(20² − 5²) = 19.36 MPa

答案

τxy = 19.36 MPa
10.莫尔圆与应力变换

答案: σ1 = 326.1 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

表面处的应力

σ = F/A = 40000/(π·20²/4) = 40000/314.2 = 127.3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·20³) = 254.6 MPa
στxyCσ1​σ2​

莫尔圆

C = σ/2 = 63.66 MPa
R = √(63.66² + 254.6²) = 262.5 MPa
σ1 = C + R = 326.1 MPa
σ2 = C − R = −198.8 MPa

答案

σ1 = 326.1 MPa
11.梁的挠度

答案: δmax = 4.404 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 2500 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 4.404 mm

答案

δmax = 4.404 mm
12.梁的挠度

答案: Ireq = 96 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·8000⁴/(384·200000·22.22) = 9.6 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 96 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 96 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲

答案: Pcr = 115.1 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/2500² = 115145 N = 115.1 kN

答案

Pcr = 115.1 kN
14.柱的屈曲

答案: σcr = 44.22 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/10 = 125

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44.22 MPa

答案

σcr = 44.22 MPa

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