轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 40 mm，长 300 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 40 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 50 mm，长 300 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 75 mm，内径 53 mm，长 3 m）一端固定，另一端受 1000 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 1000 N·mdo = 75 mmdi = 53 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 50 mm 的实心铝轴在 A 端固定。距 A 3 m 的 B 处作用 250 N·m 的扭矩，再往前 1.2 m 的自由端 C 处作用一个反向的 400 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 50 mmTB = 250 N·mTC = 400 N·mAB = 3 mBC = 1.2 m
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mw = 4 kN/m，从 0 到 6 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP = 45 kN 位于 2.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 5 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 200 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 240 mmd = 60 mm孔心: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 50 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。
bf = 120 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 160 mmM = 50 kN·m
σ顶部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 10 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。单元体按逆时针 60°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。
σx = 10 MPaσy = −70 MPaτxy = 40 MPaθ = 60°
σy′ = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 20 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 20° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 20 MPaσy = −80 MPaτxy = 50 MPaθ = 20°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 3.5 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。
P = 11 kNa = 3.5 mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 75 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 hreq。
w = 2.5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)b = 75 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 46.3 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1257) = 3.41 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.25/5.4 × 10⁻⁶ = 46297 N = 46.3 kN
答案
P = 46.3 kN
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 9.659 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 110000·1963/300 = 719948 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 30000·719948/1.139 × 10⁶ = 18966 N
应力
σ2 = 18966/1963 = 9.659 MPa （压缩）
答案
σ2 = 9.659 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 1.89 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴
扭转角
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·3000/(39000·2.332 × 10⁶) = 0.03299 rad
φ = 0.03299·180/π = 1.89°
答案
φ = 1.89°
4.轴的扭转
答案: τmax = 16.3 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC − TB = 400 − 250 = 150 N·m
最大切应力
内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。
|T|max = 400 N·m
τmax = 16·400000/(π·50³) = 16.3 MPa
答案
τmax = 16.3 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 13.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·6·3
RB = 72/6 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 12·1.5 − 4·1.5·0.75 = 13.5 kN·m
答案
Mx = 13.5 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 68.75 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 45·2.5 + 4·5·2.5
RB = 162.5/5 = 32.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 32.5 = 32.5 kN
在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 32.5·2.5 − 4·2.5·1.25 = 68.75 kN·m
答案
Mx = 68.75 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 228 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (48000·120 − 2827·144)/(48000 − 2827) = 118.5 mm
完整的板关于 ȳ
200·240³/12 + 48000·1.502² = 230.5 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·60⁴/64 + 2827·25.5² = 2.475 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 228 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 228 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σ顶部 = 161.7 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 120·30 = 3600 mm², yf = 160 + 30/2 = 175 mm
腹板: Aw = 10·160 = 1600 mm², yw = 160/2 = 80 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·175 + 1600·80)/5200 = 145.8 mm
平行移轴定理
翼缘: 120·30³/12 + 3600·(175 − 145.8)² = 3.346 × 10⁶ mm⁴
腹板: 10·160³/12 + 1600·(80 − 145.8)² = 1.033 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.346 × 10⁶ + 1.033 × 10⁷ = 1.368 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
顶边距中性轴 h − ȳ。
y = 190 − 145.8 = 44.23 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·44.23/1.368 × 10⁷ = 161.7 MPa
答案
σ顶部 = 161.7 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: σy′ = −44.64 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
y′ 面的变换公式
σy′ = −30 − 40·(−0.5) − 40·0.866 = −44.64 MPa
校核
正应力之和不随旋转而变化。
σx′ = −15.36 MPa, σx′ + σy′ = −60 = σx + σy
答案
σy′ = −44.64 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 40.44 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −30 + 50·0.766 + 50·0.6428 = 40.44 MPa
答案
σθ = 40.44 MPa
11.梁的挠度
答案: δB = 28.57 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 11000 N, a = 3500 mm, L = 6000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
自由端的挠度
荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。
δP = Pa³/(3EI) = 13.79 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.00591 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 28.57 mm
答案
δB = 28.57 mm
12.梁的挠度
答案: hreq = 221.8 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2.5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·4000⁴/(384·11000·11.11) = 6.818 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·6.818 × 10⁷/75)1/3 = 221.8 mm
答案
hreq = 221.8 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 48.83 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 1·3000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48.83 kN
答案
Pcr = 48.83 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 4.957 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/7.5 = 373.3
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/373.3² = 4.957 MPa
答案
σcr = 4.957 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials