材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等
Ø 20 mm铝3 mP = 35 kN

求铝杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 35 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
100 kN12600 mm300 mmØ20Ø50σ2​ = ?

一段钢（直径 20 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 50 mm，长 300 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 100 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。

第 1 段: 钢, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
d = ?T = 200 N·mL = 1.2 m

一根长 1.2 m 的实心钢轴承受 200 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 3°。求满足该限值的最小直径 d。

T = 200 N·mL = 1.2 mG = 80 GPaφallow = 3°
d = mm
4.轴的扭转困难
Td = ?

一根实心轴需在 300 rpm 下传递 20 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 20 kWN = 300 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
60 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

60 kN @ 4 m60 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.剪力和弯矩困难
10 kN/m35 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 0 m45 kN @ 6 m10 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
1402522014x尺寸单位为 mm

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。

bf = 140 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
1201528018xM = 20 kN·m尺寸单位为 mm

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。

bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 280 mmM = 20 kN·m
σ底部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = 10σy​ = 40τxy​ = −20MPa

某点 σₓ = 10 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。

σx = 10 MPaσy = 40 MPaτxy = −20 MPa
θs = °
10.莫尔圆与应力变换困难
55°D = 400 mm, t = 10 mm, p = 3 MPap

一个薄壁圆柱形储罐，内径 400 mm，壁厚 10 mm，所盛气体的表压为 3 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 55° 的螺旋焊缝焊接而成。 求沿焊缝作用的切应力 |τn| 的大小。

D = 400 mmt = 10 mmp = 3 MPaα = 55°
|τn| = MPa
11.梁的挠度中等
w = 10 kN/mP = 12 kNABδ1.5 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。

P = 12 kNw = 10 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
P = 11 kNABδ3 m2 m

简支梁在距支座 B 为 b = 2 m 处承受集中荷载 P。 求梁的最大挠度 δmax。

P = 11 kNb = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
PL = 1 md = 60 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
PL = 5 md = 80 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
σcr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 4.775 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 35·1000/314.2 = 111.4 MPa

应变（胡克定律）

E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 111.4/70000 = 0.001592 = 1592 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.001592·3000 mm = 4.775 mm

答案

δ = 4.775 mm
2.轴向应力与应变

答案: σ2 = 44.46 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 110000·1963/300 = 719948 N/mm

第 2 段的份额

F2 = 100000·719948/824668 = 87302 N

应力

σ2 = 87302/1963 = 44.46 MPa （压缩）

答案

σ2 = 44.46 MPa
3.轴的扭转

答案: d = 27.64 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

所需的极惯性矩

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 3·π/180 = 0.05236 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·1200/(80000·0.05236) = 57296 mm⁴

直径

d = (32J/π)1/4 = 27.64 mm

答案

d = 27.64 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

4.轴的扭转

答案: d = 37.81 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 20000/31.42 = 636.6 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·636620/(π·60)) = 37.81 mm

答案

d = 37.81 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: C (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 90 kN, R2 = 30 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 180, MC = 240 kN·m, MD = 180, ME = 120, MF = 60, MG = 0

答案

标记点 C: MC = 240 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 31.67 kN, R2 = 78.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = −35, MC = −43.33, MD = −61.67, ME = −90 kN·m, MF = −45, MG = 0

答案

标记点 E: ME = −90 kN·m
7.形心和惯性矩

答案: Ix = 37.19 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 140·25 = 3500 mm², yf = 220 + 25/2 = 232.5 mm
腹板: Aw = 14·220 = 3080 mm², yw = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3500·232.5 + 3080·110)/6580 = 175.2 mm

平行移轴定理

翼缘: 140·25³/12 + 3500·(232.5 − 175.2)² = 1.169 × 10⁷ mm⁴
腹板: 14·220³/12 + 3080·(110 − 175.2)² = 2.55 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.169 × 10⁷ + 2.55 × 10⁷ = 3.719 × 10⁷ mm⁴ = 37.19 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 37.19 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩

答案: σ底部 = 57.85 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 120·15 = 1800 mm², yf = 280 + 15/2 = 287.5 mm
腹板: Aw = 18·280 = 5040 mm², yw = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1800·287.5 + 5040·140)/6840 = 178.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 120·15³/12 + 1800·(287.5 − 178.8)² = 2.13 × 10⁷ mm⁴
腹板: 18·280³/12 + 5040·(140 − 178.8)² = 4.052 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.13 × 10⁷ + 4.052 × 10⁷ = 6.182 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 178.8 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·178.8/6.182 × 10⁷ = 57.85 MPa

答案

σ底部 = 57.85 MPa
9.莫尔圆与应力变换

答案: θs = 71.57 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

στxyCτmax​

圆上的角度

在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。

cos 2θs = −20/25 = −0.8, sin 2θs = −(−15)/25 = 0.6
2θs = atan2(15, −20) = 143.1°

单元体上的角度

θs = 71.57°
校核: θs − θp = 71.57 − (−63.43) = 135°

答案

θs = 71.57°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: |τn| = 14.1 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。

筒壁应力

r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 3·200/10 = 60 MPa
σa = pr/(2t) = 30 MPa

变换到焊缝

取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。

|τn| = (60 − 30)·sin 55°·cos 55° = 14.1 MPa

答案

|τn| = 14.1 MPa
11.梁的挠度

答案: δ = 50.07 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 12000 N, w = 10 N/mm, L = 1500 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(3EI) = 12000·1500³/(3·3.96 × 10¹¹) = 34.09 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·3.96 × 10¹¹) = 15.98 mm

相加

δ = 34.09 + 15.98 = 50.07 mm

答案

δ = 50.07 mm
12.梁的挠度

答案: δmax = 4.62 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 11000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

最大值的位置

令较长段内的转角为零，即可得到该位置。

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

最大挠度

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 4.62 mm

答案

δmax = 4.62 mm
13.柱的屈曲

答案: Pcr = 313.9 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 2·1000 = 2000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313.9 kN

答案

Pcr = 313.9 kN
14.柱的屈曲

答案: σcr = 64.45 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

回转半径和长细比

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/20 = 175

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64.45 MPa

答案

σcr = 64.45 MPa

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