材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。

P = 120 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 80 kN第 1 段：Ø25 mm，1.5 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）

δ = mm

3.轴的扭转中等

一根空心轴须承受 200 N·m 的扭矩。其内径为外径的 0.7 倍，切应力不得超过 75 MPa。求最小外径 d_o。

T = 200 N·md_i/d_o = 0.7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.轴的扭转困难

一根空心轴在 300 rpm 下传递 20 kW。求轴中的最大切应力 τ_max。

P = 20 kWN = 300 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 2 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mP = 75 kN 位于 5 mw = 10 kN/m，从 0 到 10 m

M_max = kN·m

7.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 195 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mm孔心: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 40 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mmM = 40 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 130 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。求面内最大切应力 τ_max。

σ_x = 130 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 10 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 45° 的截面上的切应力 τ_θ（正方向与 τₓᵧ 相同）。

σ_x = 10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 8 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (铝)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: ε = 10610 µε

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 120·1000/113.1 = 1061 MPa

应变（胡克定律）

E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1061/100000 = 0.01061 = 10610 µε

答案

ε = 10610 µε

2.轴向应力与应变

答案: δ = 5.669 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 163 MPa

σ₂ = 254.6 MPa

叠加各段伸长量

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 163·1500/70000 = 3.492 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 254.6·1000/117000 = 2.176 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5.669 mm

答案

δ = 5.669 mm

3.轴的扭转

答案: d_o = 26.15 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

由容许应力求外径

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·75·0.7599)) = 26.15 mm

d_i = 0.7·26.15 = 18.3 mm

答案

d_o = 26.15 mm

实心轴需要 d = 23.86 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

4.轴的扭转

答案: τ_max = 6.755 MPa

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 20000/31.42 = 636.6 N·m

极惯性矩

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3.77 × 10⁶ mm⁴

最大切应力

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·40/3.77 × 10⁶ = 6.755 MPa

答案

τ_max = 6.755 MPa

5.剪力和弯矩

答案: C (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 60.67 kN, R₂ = 42.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 56.67, M_C = 105.3 kN·m, M_D = 91, M_E = 68.67, M_F = 38.33, M_G = 0

答案

标记点 C: M_C = 105.3 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 312.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 75·5 + 10·10·5

R_B = 875/10 = 87.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 175 − 87.5 = 87.5 kN

V = 0 在哪里？

V(5⁻) = R_A − w·5 = 37.5 kN

V(5⁺) = 37.5 − 75 = −37.5 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 87.5·5 − 10·5²/2 = 312.5 kN·m

答案

M_max = 312.5 kN·m

它出现在距 A 为 x = 5 m 处。

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 336 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (45000·150 − 706.9·195)/(45000 − 706.9) = 149.3 mm

完整的板关于 ȳ

150·300³/12 + 45000·0.7181² = 337.5 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·45.72² = 1.517 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 336 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 336 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 122.5 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

腹板: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·245 + 3840·120)/5040 = 149.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 120·10³/12 + 1200·(245 − 149.8)² = 1.089 × 10⁷ mm⁴

腹板: 16·240³/12 + 3840·(120 − 149.8)² = 2.183 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.089 × 10⁷ + 2.183 × 10⁷ = 3.273 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 250 − 149.8 = 100.2 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·100.2/3.273 × 10⁷ = 122.5 MPa

答案

σ_顶部 = 122.5 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_max = 82.01 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

莫尔圆半径

τ_max = R = √(((130 − 0)/2)² + 50²) = 82.01 MPa

答案

τ_max = 82.01 MPa

10.莫尔圆与应力变换

答案: τ_θ = 10 MPa

变换公式

τ_θ = −−10·1 + 20·0 = 10 MPa

答案

τ_θ = 10 MPa

11.梁的挠度

答案: θ_A = 0.007143 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 2·6000³/(24·2.52 × 10¹²) = 0.007143 rad

答案

θ_A = 0.007143 rad

即 0.4093°。

12.梁的挠度

答案: I_req = 1.808 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·1500⁴/(384·70000·4.167) = 1.808 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1.808 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 1.808 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 113.4 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/3500² = 113394 N = 113.4 kN

答案

P_cr = 113.4 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 4.318 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

答案

σ_cr = 4.318 MPa

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