轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 30 mm，长 200 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.3 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 25 kN第 1 段：Ø25 mm，1 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø16 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根空心钢轴（外径 80 mm，内径 60 mm，长 1.2 m）一端固定，另一端受 1000 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 1000 N·mdo = 80 mmdi = 60 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心铝轴在 750 rpm 下传递 20 kW。切应力不得超过 75 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.25°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 20 kWN = 750 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.25°/mG = 26 GPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 4 mP1 = 65 kN 位于 2 mP2 = 25 kN 位于 3 m
Mmax = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mP = 60 kN 位于 1.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 200 mm，外高 H = 200 mm，壁厚均为 t = 12 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。
B = 200 mmH = 200 mmt = 12 mm
r = mm
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 30 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。
bf = 240 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 180 mmM = 30 kN·m
σ顶部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 130 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 130 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 140 MPa，σᵧ = −20 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 45° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 140 MPaσy = −20 MPaτxy = 60 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 25 kNw = 2 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 28 kNw = 4 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 35 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 35 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 32.84 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706.9) = 4.042 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.3/9.135 × 10⁻⁶ = 32841 N = 32.84 kN
答案
P = 32.84 kN
2.轴向应力与应变
答案: δ = 3.807 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 50.93 MPa
σ2 = 124.3 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 50.93·1000/200000 = 0.2546 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 124.3·2000/70000 = 3.553 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.807 mm
答案
δ = 3.807 mm
3.轴的扭转
答案: φ = 0.3126 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2.749 × 10⁶ mm⁴
扭转角
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1200/(80000·2.749 × 10⁶) = 0.005457 rad
φ = 0.005457·180/π = 0.3126°
答案
φ = 0.3126°
4.轴的扭转
答案: d = 69.15 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 20000/78.54 = 254.6 N·m
按强度求直径
T = 254.6 N·m = 254648 N·mm
dτ = ∛(16·254648/(π·75)) = 25.86 mm
按刚度求直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·254648/(π·26000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 69.15 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(25.86, 69.15) = 69.15 mm
答案
d = 69.15 mm
这里由刚度控制。
5.剪力和弯矩
答案: Mmax = 77.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
ΣMA = 0: RB·4 = 65·2 + 25·3
RB = 205/4 = 51.25 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 51.25 = 38.75 kN
各荷载处的弯矩
保留每个荷载左侧的部分。
荷载点 P1: M = RA·2 = 38.75·2 = 77.5 kN·m
荷载点 P2: M = RB·1 = 51.25·1 = 51.25 kN·m
最大值
Mmax = 77.5 kN·m (荷载点 P1)
答案
Mmax = 77.5 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 41.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1.5 + 4·4·2
RB = 122/4 = 30.5 kN
ΣFy = 0: RA = 76 − 30.5 = 45.5 kN
在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 45.5·2.5 − 60·(2.5 − 1.5) − 4·2.5·1.25 = 41.25 kN·m
答案
Mx = 41.25 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: r = 76.91 mm
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。
净面积和惯性矩
b = 176 mm, h = 176 mm
A = BH − bh = 200·200 − 176·176 = 9024 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 5.337 × 10⁷ mm⁴
回转半径
r = √(I/A) = √(5.337 × 10⁷/9024) = 76.91 mm
答案
r = 76.91 mm
8.形心和惯性矩
答案: σ顶部 = 62.74 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 240·15 = 3600 mm², yf = 180 + 15/2 = 187.5 mm
腹板: Aw = 20·180 = 3600 mm², yw = 180/2 = 90 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·187.5 + 3600·90)/7200 = 138.8 mm
平行移轴定理
翼缘: 240·15³/12 + 3600·(187.5 − 138.8)² = 8.623 × 10⁶ mm⁴
腹板: 20·180³/12 + 3600·(90 − 138.8)² = 1.828 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.623 × 10⁶ + 1.828 × 10⁷ = 2.69 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
顶边距中性轴 h − ȳ。
y = 195 − 138.8 = 56.25 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·56.25/2.69 × 10⁷ = 62.74 MPa
答案
σ顶部 = 62.74 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 54.08 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((130 − 40)/2)² + 30²) = 54.08 MPa
答案
τmax = 54.08 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 120 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 60 + 80·0 + 60·1 = 120 MPa
答案
σθ = 120 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 2.578 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 25000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 25000·1500³/(3·1.14 × 10¹³) = 2.467 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 0.111 mm
相加
δ = 2.467 + 0.111 = 2.578 mm
答案
δ = 2.578 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 6.558 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 28000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 28000·2500³/(48·1.7 × 10¹²) = 5.362 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 1.197 mm
相加
δmax = 5.362 + 1.197 = 6.558 mm
答案
δmax = 6.558 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 24.22 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 1·5000 = 5000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24.22 kN
答案
Pcr = 24.22 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 79.03 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·35000 = 105000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 79.03 mm
答案
d = 79.03 mm
校核：长细比 KL/r 为 303.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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