轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 30 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 40 mm，长 400 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根青铜管（外径 80 mm，内径 60 mm，E = 110 GPa，许用应力 60 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 250 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 1500 rpm 下传递 50 kW。 其内径为外径的 0.7 倍，切应力不得超过 40 MPa。求最小外径 do。
P = 50 kWN = 1500 rpmdi/do = 0.7τallow = 40 MPa
do = mm
5.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 7 mP1 = 60 kN 位于 3.5 mP2 = 80 kN 位于 7 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 7 mw = 2 kN/m，从 0 到 7 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
圆管外径 D = 150 mm，内径 d = 126 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。
D = 150 mmd = 126 mm
r = mm
8.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 180 mm、厚 24 mm，总高度 320 mm，腹板厚 12 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 80 kN·m。 求截面中最大弯曲应力 σmax 的大小。
B = 180 mmH = 320 mmtf = 24 mmtw = 12 mmM = 80 kN·m
σmax = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −40 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −40 MPaσy = 0 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 1200 mm，壁厚 8 mm，所盛气体的表压为 1 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 60° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 1200 mmt = 8 mmp = 1 MPaα = 60°
σn = MPa
11.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。
P = 4 kNa = 2 mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 95 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 95 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 49.48 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1257) = 4.547 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.4/8.084 × 10⁻⁶ = 49480 N = 49.48 kN
答案
P = 49.48 kN
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 166.2 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·2199 = 3.047 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.00125, 0.0005455) = 0.0005455 (青铜)
最大载荷
Pmax = 0.0005455·3.047 × 10⁸ = 166219 N = 166.2 kN
答案
Pmax = 166.2 kN
3.轴的扭转
答案: φ = 4.669 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(80000·38350) = 0.08149 rad
φ = 0.08149·180/π = 4.669°
答案
φ = 4.669°
4.轴的扭转
答案: do = 37.64 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 50000/157.1 = 318.3 N·m
由容许应力求外径
T = 318.3 N·m = 318310 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·40·0.7599)) = 37.64 mm
di = 0.7·37.64 = 26.35 mm
答案
do = 37.64 mm
实心轴需要 d = 34.35 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 40.83 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·6 = 60·3.5 + 80·7
RB = 770/6 = 128.3 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 128.3 = 11.67 kN
在 P1 处截开，保留左侧部分
Mx = RA·3.5 = 11.67·3.5 = 40.83 kN·m
答案
Mx = 40.83 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 4.41 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN，作用于 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·7·3.5
RB = 49/5 = 9.8 kN
ΣFy = 0: RA = 14 − 9.8 = 4.2 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 4.2/2 = 2.1 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 4.2²/(2·2) = 4.41 kN·m
答案
Mmax = 4.41 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: r = 48.97 mm
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。
净面积和惯性矩
A = π(D² − d²)/4 = 5202 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.248 × 10⁷ mm⁴
回转半径
r = √(I/A) = √(1.248 × 10⁷/5202) = 48.97 mm
答案
r = 48.97 mm
8.形心和惯性矩
答案: σmax = 61.01 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 320 − 2·24 = 272 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (180·320³ − 168·272³)/12
Ix = 2.098 × 10⁸ mm⁴
弯曲应力
y = 160 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·160/2.098 × 10⁸ = 61.01 MPa
答案
σmax = 61.01 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 63.25 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−40 − 0)/2)² + 60²) = 63.25 MPa
答案
τmax = 63.25 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 46.88 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 1·600/8 = 75 MPa
σa = pr/(2t) = 37.5 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 37.5·sin²60° + 75·cos²60° = 46.88 MPa
答案
σn = 46.88 MPa
11.梁的挠度
答案: δB = 8.627 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 4000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
自由端的挠度
荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。
δP = Pa³/(3EI) = 6.275 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.004706 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8.627 mm
答案
δB = 8.627 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 3.75 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·2000⁴/(384·200000·5.556) = 3.75 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 3.75 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 3.75 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 65.5 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·1500 = 750 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/750² = 65505 N = 65.5 kN
答案
Pcr = 65.5 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 119.2 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·95000 = 190000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 119.2 mm
答案
d = 119.2 mm
校核：长细比 KL/r 为 201.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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