轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 800 mm，在刚性板之间被 50 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 50 kN杆: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 30 kN第 1 段：Ø40 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根长 0.8 m 的实心铝轴承受 1000 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 1°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 1000 N·mL = 0.8 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1800 rpm 下传递 5 kW，且切应力不超过 40 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 5 kWN = 1800 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 2.5 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 50 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mM0 = 50 kN·m 顺时针，作用于 2.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mP = 55 kN 位于 1.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 200 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 150 mmd = 50 mm孔心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 200 mm 的板有一个宽 80 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 130 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 200 mm切口: 80 × 30 mm孔心: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 10 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = 10 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 10 MPaσy = 40 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 20 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 20° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 20 MPaσy = −30 MPaτxy = −30 MPaθ = 20°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 5 mw = 8 kN/m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1443 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·3063 = 2.772 × 10⁸ N
缩短量
δ = 50000·800/2.772 × 10⁸ = 0.1443 mm
答案
δ = 0.1443 mm
2.轴向应力与应变
答案: δ = 1.424 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 23.87 MPa
σ2 = 95.49 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 23.87·500/200000 = 0.05968 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 95.49·1000/70000 = 1.364 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.424 mm
答案
δ = 1.424 mm
3.轴的扭转
答案: d = 65.1 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·800/(26000·0.01745) = 1.763 × 10⁶ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 65.1 mm
答案
d = 65.1 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: d = 15 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 5000/188.5 = 26.53 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·26526/(π·40)) = 15 mm
答案
d = 15 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −31.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 50/4 = 12.5 kN (向上)
RA = −RB = −12.5 kN (向下)
在力偶左侧紧邻处截开
左侧部分只包含 RA。
Mx = RA·a = −12.5·2.5 = −31.25 kN·m
答案
Mx = −31.25 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 37.38 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·1.5 + 2·4·2
RB = 98.5/4 = 24.63 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 24.63 = 38.38 kN
在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 38.38·1 − 2·1·0.5 = 37.38 kN·m
答案
Mx = 37.38 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 55.47 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (30000·75 − 1963·60)/(30000 − 1963) = 76.05 mm
完整的板关于 ȳ
200·150³/12 + 30000·−1.051² = 56.28 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−16.05² = 0.8126 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 55.47 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 55.47 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 77.42 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (24000·100 − 2400·130)/(24000 − 2400) = 96.67 mm
完整的板关于 ȳ
120·200³/12 + 24000·3.333² = 80.27 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
80·30³/12 + 2400·33.33² = 2.847 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 77.42 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 77.42 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 21.51 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 25 MPa, R = √((−15)² + 10²) = 18.03 MPa
σ1 = 43.03 MPa, σ2 = 6.972 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(36.06, 43.03, 6.972)/2 = 21.51 MPa
答案
τabs = 21.51 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −5.133 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −5 + 25·0.766 + −30·0.6428 = −5.133 MPa
答案
σθ = −5.133 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 52.41 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 52.41 mm
答案
δmax = 52.41 mm
12.梁的挠度
答案: RB = 15 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·5/8 = 15 kN
答案
RB = 15 kN
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 4.164 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
计算长度
KL = 2·4000 = 8000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/8000² = 4164 N = 4.164 kN
答案
Pcr = 4.164 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 44.22 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/20 = 125
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44.22 MPa
答案
σcr = 44.22 MPa
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