材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根青铜管（外径 100 mm，内径 50 mm，E = 110 GPa）内。二者长度均为 600 mm，在刚性板之间被 300 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 300 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σ_max。

P = 75 kN第 1 段：Ø40 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）

σ_max = MPa

3.轴的扭转中等

一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 1000 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 500 rpm 下传递 100 kW，且切应力不超过 40 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 100 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

15 kN @ 2 m6 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 6 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 20 kN 位于 3 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 90 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 300 mmd = 50 mm孔心: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 50 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmM = 50 kN·m

σ_底部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 20 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = 30 MPa，σ_z = 0。求该点的绝对最大切应力 τ_abs（考虑三维中所有平面）。

σ_x = 20 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

一根直径 30 mm 的实心轴承受10 kN 的轴向压力，同时承受 400 N·m 的扭矩。在轴的表面处，求最大主应力 σ₁。

d = 30 mmF = −10 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 13 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 6 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 45 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 45 kNn = 2.5L = 6 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.228 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·5890 = 7.893 × 10⁸ N

缩短量

δ = 300000·600/7.893 × 10⁸ = 0.228 mm

答案

δ = 0.228 mm

2.轴向应力与应变

答案: σ_max = 238.7 MPa

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 59.68 MPa

σ₂ = 238.7 MPa

最大应力

较细的一段面积较小，因此应力较大。

σ_max = 238.7 MPa

答案

σ_max = 238.7 MPa

3.轴的扭转

答案: φ = 7.015 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(26000·251327) = 0.1224 rad

φ = 0.1224·180/π = 7.015°

答案

φ = 7.015°

4.轴的扭转

答案: d = 62.42 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1.91 × 10⁶/(π·40)) = 62.42 mm

答案

d = 62.42 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: C (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 26 kN, R₂ = 13 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 23, M_C = 40 kN·m, M_D = 36, M_E = 26, M_F = 13, M_G = 0

答案

标记点 C: M_C = 40 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 87 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3 + 12·8·4

R_B = 444/8 = 55.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 116 − 55.5 = 60.5 kN

在 x = 6 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 60.5·6 − 20·(6 − 3) − 12·6·3 = 87 kN·m

答案

M_x = 87 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 262.2 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (36000·150 − 1963·90)/(36000 − 1963) = 153.5 mm

完整的板关于 ȳ

120·300³/12 + 36000·−3.461² = 270.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−63.46² = 8.214 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 262.2 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 262.2 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 356.6 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

腹板: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·170 + 2560·80)/8160 = 141.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 280·20³/12 + 5600·(170 − 141.8)² = 4.651 × 10⁶ mm⁴

腹板: 16·160³/12 + 2560·(80 − 141.8)² = 1.523 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.651 × 10⁶ + 1.523 × 10⁷ = 1.988 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 141.8 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·141.8/1.988 × 10⁷ = 356.6 MPa

答案

σ_底部 = 356.6 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_abs = 31.62 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σ_max − σ_min)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。

面内主应力

C = 30 MPa, R = √((−10)² + 30²) = 31.62 MPa

σ₁ = 61.62 MPa, σ₂ = −1.623 MPa, σ_z = 0

三个圆中最大的

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(63.25, 61.62, 1.623)/2 = 31.62 MPa

答案

τ_abs = 31.62 MPa

这里 σ₁ 和 σ₂ 异号，所以面内最大值 R 也就是绝对最大值。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ₁ = 68.71 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

表面处的应力

σ = F/A = −10000/(π·30²/4) = −10000/706.9 = −14.15 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·30³) = 75.45 MPa

莫尔圆

C = σ/2 = −7.074 MPa

R = √((−7.074)² + 75.45²) = 75.78 MPa

σ₁ = C + R = 68.71 MPa

σ₂ = C − R = −82.86 MPa

答案

σ₁ = 68.71 MPa

11.梁的挠度

答案: θ_A = 0.004044 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 10·2500³/(24·1.61 × 10¹²) = 0.004044 rad

答案

θ_A = 0.004044 rad

即 0.2317°。

12.梁的挠度

答案: δ_max = 1.278 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 13000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm, EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 13000·4000³/(48·2.4 × 10¹³) = 0.7222 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·2.4 × 10¹³) = 0.5556 mm

相加

δ_max = 0.7222 + 0.5556 = 1.278 mm

答案

δ_max = 1.278 mm

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 32.64 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/4200² = 32638 N = 32.64 kN

答案

P_cr = 32.64 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 73.92 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·45000 = 112500 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 73.92 mm

答案

d = 73.92 mm

校核：长细比 KL/r 为 162.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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