材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求钢杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 35 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

一段钢（直径 20 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 30 mm，长 300 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 20 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ₂。

第 1 段: 钢, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.轴的扭转中等

在扭转试验中，一根直径 20 mm 的实心试件受 50 N·m 的扭矩作用。标距 300 mm 两端的相对转角为 2.1°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。

T = 50 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 2.1°

G = GPa

4.轴的扭转困难

一根空心轴在 300 rpm 下传递 75 kW。求轴中的最大切应力 τ_max。

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 12 kN/m，从 0 到 6 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 50 kN 位于 2 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 200 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 170 mm。底板和两肢厚度均为 14 mm。求形心到底边的高度 ȳ。

b = 200 mmh = 170 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 40 MPa，容许压应力为 150 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 90 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θ_p，取值在 −90° 到 90° 之间。

σ_x = 90 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 70 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴顺时针转过 20° 的截面上的切应力 τ_θ（正方向与 τₓᵧ 相同）。

σ_x = 70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 6 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.3714 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706.9 = 49.51 MPa

应变（胡克定律）

E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 49.51/200000 = 0.0002476 = 247.6 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.0002476·1500 mm = 0.3714 mm

答案

δ = 0.3714 mm

2.轴向应力与应变

答案: σ₂ = 17.31 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 70000·706.9/300 = 164934 N/mm

第 2 段的份额

F₂ = 20000·164934/269653 = 12233 N

应力

σ₂ = 12233/706.9 = 17.31 MPa （压缩）

答案

σ₂ = 17.31 MPa

3.轴的扭转

答案: G = 26.05 GPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩和角度

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 2.1·π/180 = 0.03665 rad

剪切模量

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·300/(15708·0.03665) = 26054 MPa

G = 26.05 GPa

答案

G = 26.05 GPa

作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。

4.轴的扭转

答案: τ_max = 25.33 MPa

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m

极惯性矩

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3.77 × 10⁶ mm⁴

最大切应力

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2.387 × 10⁶·40/3.77 × 10⁶ = 25.33 MPa

答案

τ_max = 25.33 MPa

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 52.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·6·3

R_B = 216/6 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 36·2.5 − 12·2.5·1.25 = 52.5 kN·m

答案

M_x = 52.5 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 78 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2 + 6·5·2.5

R_B = 175/5 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 35 = 45 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 45·2 − 6·2·1 = 78 kN·m

答案

M_x = 78 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: ȳ = 58.8 mm

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 200·14 = 2800 mm², y₁ = 7 mm

两肢: A₂ = 2·14·156 = 4368 mm², y₂ = 14 + 156/2 = 92 mm

形心

ȳ = (2800·7 + 4368·92)/7168 = 58.8 mm

答案

ȳ = 58.8 mm

8.形心和惯性矩

答案: M_allow = 36.6 kN·m

形心

ȳ = (4000·290 + 5600·140)/9600 = 202.5 mm

上边缘: c = 300 − 202.5 = 97.5 mm

惯性矩

I = 200·20³/12 + 4000·87.5² + 20·280³/12 + 5600·62.5² = 8.922 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 40·8.922 × 10⁷/97.5 = 36.6 kN·m

下边缘: M = 150·8.922 × 10⁷/202.5 = 66.09 kN·m

控制值

M_allow = min = 36.6 kN·m (上边缘)

答案

M_allow = 36.6 kN·m

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_p = 50.65 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θ_p = atan2(2·50, 90 − 110) = 101.3°

单元体上的角度

θ_p = 50.65°

答案

θ_p = 50.65°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: τ_θ = 40.55 MPa

变换公式

τ_θ = −75·−0.6428 + −10·0.766 = 40.55 MPa

答案

τ_θ = 40.55 MPa

11.梁的挠度

答案: δ = 5.075 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 5.075 mm

答案

δ = 5.075 mm

12.梁的挠度

答案: R_B = 9 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·6/8 = 9 kN

答案

R_B = 9 kN

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 8.636 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

计算长度

KL = 1·3000 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/3000² = 8636 N = 8.636 kN

答案

P_cr = 8.636 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 11.05 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa

答案

σ_cr = 11.05 MPa

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