轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 85 kNd = 12 mmL = 1 mE = 117 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa，许用应力 120 MPa）放在一根黄铜管（外径 120 mm，内径 60 mm，E = 100 GPa，许用应力 80 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 20 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 500 rpm 下传递 5 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 5 kWN = 500 rpmdo = 40 mmdi = 20 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 2 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 35 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mM0 = 35 kN·m 顺时针，作用于 2 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP = 20 kN 位于 1.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 5 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 150 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 300 mmd = 40 mm孔心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 50 MPa，容许压应力为 100 MPa。 求梁能承受的最大正弯矩 Mallow。
bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 300 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −60 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = −60 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 150 MPa，σᵧ = 20 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 45° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = 150 MPaσy = 20 MPaτxy = −10 MPaθ = 45°
τθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 15 kNa = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 8 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 25 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 25 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 6424 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 85·1000/113.1 = 751.6 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 751.6/117000 = 0.006424 = 6424 µε
答案
ε = 6424 µε
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 593.8 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·8482 = 9.896 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.0006, 0.0008) = 0.0006 (钢)
最大载荷
Pmax = 0.0006·9.896 × 10⁸ = 593761 N = 593.8 kN
答案
Pmax = 593.8 kN
3.轴的扭转
答案: φ = 7.015 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(26000·15708) = 0.1224 rad
φ = 0.1224·180/π = 7.015°
答案
φ = 7.015°
4.轴的扭转
答案: τmax = 8.106 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m
极惯性矩
J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 95493·20/235619 = 8.106 MPa
答案
τmax = 8.106 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −7 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 35/10 = 3.5 kN (向上)
RA = −RB = −3.5 kN (向下)
在力偶左侧紧邻处截开
左侧部分只包含 RA。
Mx = RA·a = −3.5·2 = −7 kN·m
答案
Mx = −7 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 47.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·1.5 + 10·5·2.5
RB = 155/5 = 31 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 31 = 39 kN
在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 39·1.5 − 10·1.5·0.75 = 47.25 kN·m
答案
Mx = 47.25 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 334.8 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (45000·150 − 1257·105)/(45000 − 1257) = 151.3 mm
完整的板关于 ȳ
150·300³/12 + 45000·−1.293² = 337.6 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·40⁴/64 + 1257·−46.29² = 2.819 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 334.8 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 334.8 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Mallow = 23.39 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (2800·310 + 6000·150)/8800 = 200.9 mm
上边缘: c = 320 − 200.9 = 119.1 mm
惯性矩
I = 140·20³/12 + 2800·109.1² + 20·300³/12 + 6000·50.91² = 9.397 × 10⁷ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
正弯矩：上侧受压，下侧受拉。
上边缘: M = 100·9.397 × 10⁷/119.1 = 78.9 kN·m
下边缘: M = 50·9.397 × 10⁷/200.9 = 23.39 kN·m
控制值
Mallow = min = 23.39 kN·m (下边缘)
答案
Mallow = 23.39 kN·m
9.莫尔圆与应力变换
答案: θs = 34.72 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = 30/85.44 = 0.3511, sin 2θs = −(−80)/85.44 = 0.9363
2θs = atan2(80, 30) = 69.44°
单元体上的角度
θs = 34.72°
校核: θs − θp = 34.72 − 79.72 = −45°
答案
θs = 34.72°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −65 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −65·1 + −10·0 = −65 MPa
答案
τθ = −65 MPa
11.梁的挠度
答案: δP = 42.86 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 15000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 15000·2000²·3000²/(3·8.4 × 10¹¹·5000) = 42.86 mm
答案
δP = 42.86 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 1745 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·8000⁴/(384·11000·22.22) = 1.745 × 10⁹ mm⁴
Ireq = 1745 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 1745 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 27.56 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 1·3000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27.56 kN
答案
Pcr = 27.56 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 26.8 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 1·1000 = 1000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 26.8 mm
答案
d = 26.8 mm
校核：长细比 KL/r 为 149.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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