轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根黄铜管（外径 100 mm，内径 60 mm，E = 100 GPa）内。二者长度均为 400 mm，在刚性板之间被 300 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 300 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 70 kN第 1 段：Ø40 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 50 mm，内径 35 mm，长 3 m）一端固定，另一端受 2000 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 2000 N·mdo = 50 mmdi = 35 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 300 rpm 下传递 10 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 10 kWN = 300 rpmdo = 80 mmdi = 64 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
30 kN @ 3 m50 kN @ 5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mP = 30 kN 位于 5 mw = 6 kN/m，从 0 到 10 mx = 5 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 200 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 80 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 200 mmd = 60 mm孔心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 210 mm、厚 16 mm，总高度 400 mm，腹板厚 12 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 30 kN·m。 求截面中最大弯曲应力 σmax 的大小。
B = 210 mmH = 400 mmtf = 16 mmtw = 12 mmM = 30 kN·m
σmax = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 80 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = 80 MPaσy = 70 MPaτxy = 40 MPa
θs = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −50 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 15° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −50 MPaσy = 40 MPaτxy = −40 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 150 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 hreq。
w = 2.5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)b = 150 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 30 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 30 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1863 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·5027 = 6.44 × 10⁸ N
缩短量
δ = 300000·400/6.44 × 10⁸ = 0.1863 mm
答案
δ = 0.1863 mm
2.轴向应力与应变
答案: δ = 6.842 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 55.7 MPa
σ2 = 222.8 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 55.7·1000/117000 = 0.4761 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 222.8·2000/70000 = 6.366 mm
δ = δ1 + δ2 = 6.842 mm
答案
δ = 6.842 mm
3.轴的扭转
答案: φ = 18.9 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴
扭转角
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·3000/(39000·466269) = 0.33 rad
φ = 0.33·180/π = 18.9°
答案
φ = 18.9°
4.轴的扭转
答案: τmax = 5.363 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m
极惯性矩
J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2.374 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 318310·40/2.374 × 10⁶ = 5.363 MPa
答案
τmax = 5.363 MPa
5.剪力和弯矩
答案: D (x = 3 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 23.33 kN, R2 = 56.67 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 23.33, MC = 46.67, MD = 70 kN·m, ME = 63.33, MF = 56.67, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 70 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 150 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·5 + 6·10·5
RB = 450/10 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 45 = 45 kN
在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 45·5 − 6·5·2.5 = 150 kN·m
答案
Mx = 150 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 131.5 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (40000·100 − 2827·80)/(40000 − 2827) = 101.5 mm
完整的板关于 ȳ
200·200³/12 + 40000·−1.521² = 133.4 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−21.52² = 1.946 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 131.5 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 131.5 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σmax = 20.15 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 400 − 2·16 = 368 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·400³ − 198·368³)/12
Ix = 2.977 × 10⁸ mm⁴
弯曲应力
y = 200 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·200/2.977 × 10⁸ = 20.15 MPa
答案
σmax = 20.15 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: θs = −3.563 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = 40/40.31 = 0.9923, sin 2θs = −5/40.31 = −0.124
2θs = atan2(−5, 40) = −7.125°
单元体上的角度
θs = −3.563°
校核: θs − θp = −3.563 − 41.44 = −45°
答案
θs = −3.563°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −63.97 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −5 + −45·0.866 + −40·0.5 = −63.97 MPa
答案
σθ = −63.97 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 50.51 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 50.51 mm
答案
δmax = 50.51 mm
12.梁的挠度
答案: hreq = 176 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2.5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·4000⁴/(384·11000·11.11) = 6.818 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·6.818 × 10⁷/150)1/3 = 176 mm
答案
hreq = 176 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 28.56 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/3000² = 28558 N = 28.56 kN
答案
Pcr = 28.56 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 47.23 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·30000 = 75000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 47.23 mm
答案
d = 47.23 mm
校核：长细比 KL/r 为 127，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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