材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 30 mm，长 200 mm，E = 110 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

2.轴向应力与应变困难

一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 120 MPa）放在一根铜管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa，许用应力 60 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 P_max。

杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.轴的扭转中等

一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 200 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 750 rpm 下传递 50 kW，且切应力不超过 40 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 x_c。

L = 5.5 mw = 12 kN/m，从 0 到 5.5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m

x_c = m

7.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 25 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 25 kN·m

σ_底部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = 120 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。单元体按逆时针 25°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σ_y′。

σ_x = 120 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 70 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（σ_z = 0）。材料的屈服强度为 275 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。

σ_x = 70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 12 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 150 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 h_req。

w = 4 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 150 mm

h_req = mm

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: P = 52.18 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706.9) = 2.572 × 10⁻⁶ mm/N

载荷

P = 0.4/7.665 × 10⁻⁶ = 52184 N = 52.18 kN

答案

P = 52.18 kN

2.轴向应力与应变

答案: P_max = 309.4 kN

面积

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6.189 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.0006, 0.0005) = 0.0005 (铜)

最大载荷

P_max = 0.0005·6.189 × 10⁸ = 309447 N = 309.4 kN

答案

P_max = 309.4 kN

3.轴的扭转

答案: φ = 0.8768 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(26000·251327) = 0.0153 rad

φ = 0.0153·180/π = 0.8768°

答案

φ = 0.8768°

4.轴的扭转

答案: d = 43.28 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·40)) = 43.28 mm

答案

d = 43.28 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 63.5 kN, R₂ = 63.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 115, M_C = 206, M_D = 273 kN·m, M_E = 206, M_F = 115, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 273 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: x_c = 3.438 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5.5 = 66 kN，作用于 x̄ = 2.75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·5.5·2.75

R_B = 181.5/4 = 45.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 45.38 = 20.63 kN

弯矩为零

两支座之间 M(x) = R_A·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2R_A/w 处为零。

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·20.63/12 = 3.438 m

答案

x_c = 3.438 m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 131.1 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (40000·100 − 1257·60)/(40000 − 1257) = 101.3 mm

完整的板关于 ȳ

200·200³/12 + 40000·−1.297² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−41.3² = 2.269 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 131.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 131.1 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 54.81 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292.5 mm

腹板: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·292.5 + 5600·140)/10100 = 207.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·25³/12 + 4500·(292.5 − 207.9)² = 3.241 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·280³/12 + 5600·(140 − 207.9)² = 6.244 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.241 × 10⁷ + 6.244 × 10⁷ = 9.485 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 207.9 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·207.9/9.485 × 10⁷ = 54.81 MPa

答案

σ_底部 = 54.81 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: σ_y′ = 56.5 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

y′ 面的变换公式

σ_y′ = 100 − 20·0.6428 − 40·0.766 = 56.5 MPa

校核

正应力之和不随旋转而变化。

σ_x′ = 143.5 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 200 = σ_x + σ_y

答案

σ_y′ = 56.5 MPa

10.莫尔圆与应力变换

答案: n = 2.284

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σ_Y 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σ_Y/2 时屈服。

主应力

C = 50 MPa, R = 63.25 MPa

σ₁ = 113.2 MPa, σ₂ = −13.25 MPa, σ₃ = 0

冯·米塞斯

σ_vM = √(113.2² − 113.2·(−13.25) + (−13.25)²) = 120.4 MPa

n = 275/120.4 = 2.284

答案

n = 2.284

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

11.梁的挠度

答案: θ_A = 0.03463 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 12·4000³/(24·9.24 × 10¹¹) = 0.03463 rad

答案

θ_A = 0.03463 rad

即 1.984°。

12.梁的挠度

答案: h_req = 169.5 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11.67 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·11.67) = 6.09 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·6.09 × 10⁷/150)^1/3 = 169.5 mm

答案

h_req = 169.5 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 5.888 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

计算长度

KL = 1·6000 = 6000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/6000² = 5888 N = 5.888 kN

答案

P_cr = 5.888 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 197.4 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

答案

σ_cr = 197.4 MPa

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