轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 40 mm，长 200 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.2 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 25 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 40 mm，长 200 mm，E = 120 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根空心铝轴（外径 80 mm，内径 56 mm，长 1.5 m）一端固定，另一端受 400 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 400 N·mdo = 80 mmdi = 56 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心钢轴在 A 端固定。距 A 1.2 m 的 B 处作用 200 N·m 的扭矩，再往前 3 m 的自由端 C 处作用一个同向的 250 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 40 mmTB = 200 N·mTC = 250 N·mAB = 1.2 mBC = 3 m
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
20 kN @ 2 m45 kN @ 8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
45 kN @ 0 m55 kN @ 6 m50 kN @ 2 m6 kN/m, 1–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
一块 100 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 90 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 300 mmd = 60 mm孔心: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 200 mm × 300 mm 的板有一个宽 50 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 180 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 300 mm切口: 50 × 50 mm孔心: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 80 MPa，σᵧ = 60 MPa，τₓᵧ = −20 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 80 MPaσy = 60 MPaτxy = −20 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −80 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 45° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −80 MPaσy = −80 MPaτxy = 40 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 11 kNw = 15 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 14 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 35 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 35 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 46.91 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1257) = 2.274 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.2/4.263 × 10⁻⁶ = 46914 N = 46.91 kN
答案
P = 46.91 kN
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 18.01 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 120000·1257/200 = 753982 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 30000·753982/999419 = 22633 N
应力
σ2 = 22633/1257 = 18.01 MPa （压缩）
答案
σ2 = 18.01 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 0.4327 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3.056 × 10⁶ mm⁴
扭转角
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 400000·1500/(26000·3.056 × 10⁶) = 0.007552 rad
φ = 0.007552·180/π = 0.4327°
答案
φ = 0.4327°
4.轴的扭转
答案: τmax = 35.81 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC + TB = 250 + 200 = 450 N·m
最大切应力
内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。
|T|max = 450 N·m
τmax = 16·450000/(π·40³) = 35.81 MPa
答案
τmax = 35.81 MPa
5.剪力和弯矩
答案: E (x = 8 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 31.67 kN, R2 = 33.33 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 63.33, MC = 86.67, MD = 110, ME = 133.3 kN·m, MF = 66.67, MG = 0
答案
标记点 E: ME = 133.3 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 65.67 kN, R2 = 102.3 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −45, MC = −27.33, MD = −65.67, ME = −110 kN·m, MF = −55, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −110 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 213.1 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (30000·150 − 2827·90)/(30000 − 2827) = 156.2 mm
完整的板关于 ȳ
100·300³/12 + 30000·−6.243² = 226.2 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−66.24² = 13.04 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 213.1 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 213.1 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 447.1 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (60000·150 − 2500·180)/(60000 − 2500) = 148.7 mm
完整的板关于 ȳ
200·300³/12 + 60000·1.304² = 450.1 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
50·50³/12 + 2500·31.3² = 2.971 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 447.1 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 447.1 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 46.18 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 70 MPa, R = √(10² + (−20)²) = 22.36 MPa
σ1 = 92.36 MPa, σ2 = 47.64 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(44.72, 92.36, 47.64)/2 = 46.18 MPa
答案
τabs = 46.18 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −40 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −80 + 0·0 + 40·1 = −40 MPa
答案
σθ = −40 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 51.8 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 11000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 11000·2500³/(3·2.52 × 10¹²) = 22.73 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 15·2500⁴/(8·2.52 × 10¹²) = 29.06 mm
相加
δ = 22.73 + 29.06 = 51.8 mm
答案
δ = 51.8 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 30.16 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 14000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm, EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 14000·4000³/(48·8.4 × 10¹¹) = 22.22 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 7.937 mm
相加
δmax = 22.22 + 7.937 = 30.16 mm
答案
δmax = 30.16 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 16.45 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴
计算长度
KL = 2·1000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/2000² = 16449 N = 16.45 kN
答案
Pcr = 16.45 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 65.65 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·35000 = 70000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 65.65 mm
答案
d = 65.65 mm
校核：长细比 KL/r 为 182.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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