轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 30 mm，长 500 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.3 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 110 kN第 1 段：Ø40 mm，1.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心黄铜轴在 500 rpm 下传递 30 kW。切应力不得超过 40 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.25°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 30 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.25°/mG = 39 GPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mw = 10 kN/m，从 0 到 5 mx = 2 m
Vx = kN
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mP = 40 kN 位于 3 mw = 2 kN/m，从 0 到 6 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
对称工字形截面的翼缘宽 120 mm、厚 24 mm，总高度 240 mm，腹板厚 14 mm。 求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 Sx。
B = 120 mmH = 240 mmtf = 24 mmtw = 14 mm
Sx = × 10³ mm³
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。
bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 120 mmM = 5 kN·m
σ底部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −80 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −80 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 20 MPa，σᵧ = 40 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 45° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 20 MPaσy = 40 MPaτxy = −60 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 12 kNw = 15 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
简支梁在三分点处（距每个支座 L/3）承受两个相等的集中荷载 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 30 kNL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 90 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 90 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 30.09 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706.9) = 5.895 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.3/9.969 × 10⁻⁶ = 30093 N = 30.09 kN
答案
P = 30.09 kN
2.轴向应力与应变
答案: δ = 13.13 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 87.54 MPa
σ2 = 972.6 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 87.54·1500/200000 = 0.6565 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 972.6·1500/117000 = 12.47 mm
δ = δ1 + δ2 = 13.13 mm
答案
δ = 13.13 mm
3.轴的扭转
答案: φ = 4.503 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·79522) = 0.0786 rad
φ = 0.0786·180/π = 4.503°
答案
φ = 4.503°
4.轴的扭转
答案: d = 76.53 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m
按强度求直径
T = 573 N·m = 572958 N·mm
dτ = ∛(16·572958/(π·40)) = 41.78 mm
按刚度求直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·572958/(π·39000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 76.53 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(41.78, 76.53) = 76.53 mm
答案
d = 76.53 mm
这里由刚度控制。
5.剪力和弯矩
答案: Vx = 5 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·5·2.5
RB = 125/5 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 25 − 10·2 = 5 kN
答案
Vx = 5 kN
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 69 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 40·3 + 2·6·3
RB = 156/6 = 26 kN
ΣFy = 0: RA = 52 − 26 = 26 kN
在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 26·3 − 2·3·1.5 = 69 kN·m
答案
Mx = 69 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Sx = 631 × 10³ mm³
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 240 − 2·24 = 192 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (120·240³ − 106·192³)/12
Ix = 7.572 × 10⁷ mm⁴
抗弯截面系数
c = H/2 = 120 mm
Sx = I/c = 7.572 × 10⁷/120
Sx = 630989 mm³ = 631 × 10³ mm³
答案
Sx = 631 × 10³ mm³
8.形心和惯性矩
答案: σ底部 = 51.91 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 120 + 15/2 = 127.5 mm
腹板: Aw = 20·120 = 2400 mm², yw = 120/2 = 60 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·127.5 + 2400·60)/6600 = 103 mm
平行移轴定理
翼缘: 280·15³/12 + 4200·(127.5 − 103)² = 2.609 × 10⁶ mm⁴
腹板: 20·120³/12 + 2400·(60 − 103)² = 7.308 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.609 × 10⁶ + 7.308 × 10⁶ = 9.917 × 10⁶ mm⁴
弯曲应力
底边距中性轴 ȳ。
y = 103 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·103/9.917 × 10⁶ = 51.91 MPa
答案
σ底部 = 51.91 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 76.72 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·30, −80 − 40) = 153.4°
单元体上的角度
θp = 76.72°
答案
θp = 76.72°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 90 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 30 + −10·0 + −60·−1 = 90 MPa
答案
σθ = 90 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 5.762 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 12000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 12000·1500³/(3·3.99 × 10¹²) = 3.383 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 2.379 mm
相加
δ = 3.383 + 2.379 = 5.762 mm
答案
δ = 5.762 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 42.33 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 30000 N, L = 4000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
一个荷载位于 L/3 处
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm
δ₁ = 21.16 mm
两个荷载相加
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 42.33 mm
答案
δmax = 42.33 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 16.45 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴
计算长度
KL = 2·1000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/2000² = 16449 N = 16.45 kN
答案
Pcr = 16.45 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 87.91 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·90000 = 225000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 87.91 mm
答案
d = 87.91 mm
校核：长细比 KL/r 为 136.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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