材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 20 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

一段钢（直径 25 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 40 mm，长 500 mm，E = 120 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 20 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ₂。

第 1 段: 钢, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.轴的扭转中等

一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 750 N·md = 25 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根直径 60 mm 的实心铝轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 2.5 m、距 B 2 m 的 C 处施加 500 N·m 的扭矩。求截面 C 的转角 φ_C，以度表示。

d = 60 mmT₀ = 500 N·ma = 2.5 mb = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.剪力和弯矩中等

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P₁，在 C 处承受集中荷载 P₂。求支座 B 左侧紧邻处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6.5 mP₁ = 40 kN 位于 3.5 mP₂ = 10 kN 位于 6.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 35 kN 位于 1.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 6 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 50 MPa，容许压应力为 120 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 50 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θ_p，取值在 −90° 到 90° 之间。

σ_x = 50 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 110 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 20° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 110 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 6 mw = 6 kN/m

R_B = kN

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.9549 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 20·1000/314.2 = 63.66 MPa

应变（胡克定律）

E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 63.66/100000 = 0.0006366 = 636.6 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.0006366·1500 mm = 0.9549 mm

答案

δ = 0.9549 mm

2.轴向应力与应变

答案: σ₂ = 10.32 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm

第 2 段的份额

F₂ = 20000·301593/465218 = 12966 N

应力

σ₂ = 12966/1257 = 10.32 MPa （压缩）

答案

σ₂ = 10.32 MPa

3.轴的扭转

答案: φ = 21.01 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(80000·38350) = 0.3667 rad

φ = 0.3667·180/π = 21.01°

答案

φ = 21.01°

4.轴的扭转

答案: φ_C = 0.9622 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。两端都固定时，仅靠静力学只能得到 T_A + T_B = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。

平衡和变形协调

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·2/4.5 = 222.2 N·m

T_B = 500·2.5/4.5 = 277.8 N·m

C 的转角

用 AC 段：它在 A 端固定，承受 T_A。

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 222222·2500/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.01679 rad = 0.9622°

答案

φ_C = 0.9622°

5.剪力和弯矩

答案: V_x = −31 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3.5 + 10·6.5

R_B = 205/5 = 41 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 41 = 9 kN

在 B 左侧紧邻处截开，保留左侧部分

V_x = R_A − P₁ = 9 − 40 = −31 kN

答案

V_x = −31 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 56.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1.5 + 5·6·3

R_B = 142.5/6 = 23.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 23.75 = 41.25 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 41.25·1.5 − 5·1.5·0.75 = 56.25 kN·m

答案

M_x = 56.25 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 24.2 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

腹板: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·190 + 3600·90)/6000 = 130 mm

平行移轴定理

翼缘: 120·20³/12 + 2400·(190 − 130)² = 8.72 × 10⁶ mm⁴

腹板: 20·180³/12 + 3600·(90 − 130)² = 1.548 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.72 × 10⁶ + 1.548 × 10⁷ = 2.42 × 10⁷ mm⁴ = 24.2 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 24.2 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: M_allow = 3.817 kN·m

形心

ȳ = (7000·152.5 + 1400·70)/8400 = 138.8 mm

上边缘: c = 165 − 138.8 = 26.25 mm

惯性矩

I = 280·25³/12 + 7000·13.75² + 10·140³/12 + 1400·68.75² = 1.059 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 120·1.059 × 10⁷/26.25 = 48.42 kN·m

下边缘: M = 50·1.059 × 10⁷/138.8 = 3.817 kN·m

控制值

M_allow = min = 3.817 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 3.817 kN·m

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_p = 19.9 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θ_p = atan2(2·50, 50 − −70) = 39.81°

单元体上的角度

θ_p = 19.9°

答案

θ_p = 19.9°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = 107.1 MPa

变换公式

σ_θ = 15 + 95·0.766 + 30·0.6428 = 107.1 MPa

答案

σ_θ = 107.1 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_max = 3.303 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 3.303 mm

答案

δ_max = 3.303 mm

12.梁的挠度

答案: R_B = 13.5 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·6/8 = 13.5 kN

答案

R_B = 13.5 kN

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 9.646 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 1·3000 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9.646 kN

答案

P_cr = 9.646 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 11.05 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa

答案

σ_cr = 11.05 MPa

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