轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求钢杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 35 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 20 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 40 mm，长 500 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 60 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 400 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.5 倍，切应力不得超过 40 MPa。求最小外径 do。
T = 400 N·mdi/do = 0.5τallow = 40 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根直径 40 mm 的实心钢轴在 A 端固定。距 A 1.2 m 的 B 处作用 2000 N·m 的扭矩，再往前 2.5 m 的自由端 C 处作用一个同向的 100 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。
d = 40 mmTB = 2000 N·mTC = 100 N·mAB = 1.2 mBC = 2.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
40 kN @ 4 m30 kN @ 1 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mP = 55 kN 位于 4.5 mw = 12 kN/m，从 0 到 6 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 130 mm、厚 16 mm，总高度 220 mm，腹板厚 8 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 100 kN·m。 求截面中最大弯曲应力 σmax 的大小。
B = 130 mmH = 220 mmtf = 16 mmtw = 8 mmM = 100 kN·m
σmax = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −50 MPa，σᵧ = 10 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −50 MPaσy = 10 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = −20 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 35° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 100 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。
w = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 13 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 3.868 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 35·1000/113.1 = 309.5 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 309.5/200000 = 0.001547 = 1547 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.001547·2500 mm = 3.868 mm
答案
δ = 3.868 mm
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 30.45 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 110000·1257/500 = 276460 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 60000·276460/433540 = 38261 N
应力
σ2 = 38261/1257 = 30.45 MPa （压缩）
答案
σ2 = 30.45 MPa
3.轴的扭转
答案: do = 37.87 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·40·0.9375)) = 37.87 mm
di = 0.5·37.87 = 18.94 mm
答案
do = 37.87 mm
实心轴需要 d = 37.07 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: φC = 7.894 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC + TB = 100 + 2000 = 2100 N·m
各段的扭转角
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 2.1 × 10⁶·1200/(80000·251327) = 0.1253 rad
φBC = 100000·2500/(80000·251327) = 0.01243 rad
端部 C 的扭转角
φC = 0.1253 + 0.01243 = 0.1378 rad → |φC| = 7.894°
答案
φC = 7.894°
5.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 38.33 kN, R2 = 31.67 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 38.33, MC = 46.67, MD = 55, ME = 63.33 kN·m, MF = 31.67, MG = 0
答案
标记点 E: ME = 63.33 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 95.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·4.5 + 12·6·3
RB = 463.5/6 = 77.25 kN
ΣFy = 0: RA = 127 − 77.25 = 49.75 kN
在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 49.75·3 − 12·3·1.5 = 95.25 kN·m
答案
Mx = 95.25 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 30.02 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
腹板: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·250 + 2400·120)/4400 = 179.1 mm
平行移轴定理
翼缘: 100·20³/12 + 2000·(250 − 179.1)² = 1.012 × 10⁷ mm⁴
腹板: 10·240³/12 + 2400·(120 − 179.1)² = 1.99 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.012 × 10⁷ + 1.99 × 10⁷ = 3.002 × 10⁷ mm⁴ = 30.02 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 30.02 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σmax = 230.1 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 220 − 2·16 = 188 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (130·220³ − 122·188³)/12
Ix = 4.78 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
y = 110 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁸·110/4.78 × 10⁷ = 230.1 MPa
答案
σmax = 230.1 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 73.15 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·20, −50 − 10) = 146.3°
单元体上的角度
θp = 73.15°
答案
θp = 73.15°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 88.71 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 40 + 60·0.342 + 30·0.9397 = 88.71 MPa
答案
σθ = 88.71 MPa
11.梁的挠度
答案: θA = 0.005333 rad
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 8000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
端部转角
θA = wL³/(24EI) = 8·8000³/(24·3.2 × 10¹³) = 0.005333 rad
答案
θA = 0.005333 rad
即 0.3056°。
12.梁的挠度
答案: δmax = 11.93 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 13000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 13000·3000³/(48·1.32 × 10¹²) = 5.54 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 6.392 mm
相加
δmax = 5.54 + 6.392 = 11.93 mm
答案
δmax = 11.93 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 37.6 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·1000 = 700 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/700² = 37598 N = 37.6 kN
答案
Pcr = 37.6 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 6.94 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/15 = 533.3
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533.3² = 6.94 MPa
答案
σcr = 6.94 MPa
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