材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 20 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 160 MPa）放在一根铜管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 120 GPa，许用应力 100 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 P_max。

杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.轴的扭转中等

一根阶梯形实心黄铜轴在 A 端固定。AB 段直径 75 mm，长 0.8 m；BC 段直径 40 mm，长 1.2 m。自由端 C 作用 1500 N·m 的扭矩。求轴中的最大切应力 τ_max。

T = 1500 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0.8 md₂ = 40 mm, L₂ = 1.2 m

τ_max = MPa

4.轴的扭转困难

一根空心轴在 500 rpm 下传递 15 kW。求轴中的最大切应力 τ_max。

P = 15 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 8 kN/m，从 0 到 5 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 55 kN 位于 3 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 120 mm、厚 20 mm，总高度 240 mm，腹板厚 14 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 30 kN·m。求截面中最大弯曲应力 σ_max 的大小。

B = 120 mmH = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmM = 30 kN·m

σ_max = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。求面内最大切应力 τ_max。

σ_x = 100 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 30 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴顺时针转过 30° 的截面上的切应力 τ_θ（正方向与 τₓᵧ 相同）。

σ_x = 30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 6 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 40 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 40 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 2.125 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201.1 = 99.47 MPa

应变（胡克定律）

E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 99.47/117000 = 0.0008502 = 850.2 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.0008502·2500 mm = 2.125 mm

答案

δ = 2.125 mm

2.轴向应力与应变

答案: P_max = 794.8 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·7461 = 9.935 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.0008, 0.0008333) = 0.0008 (钢)

最大载荷

P_max = 0.0008·9.935 × 10⁸ = 794823 N = 794.8 kN

答案

P_max = 794.8 kN

3.轴的扭转

答案: τ_max = 119.4 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

各段的应力

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

τ_AB = 16·1.5 × 10⁶/(π·75³) = 18.11 MPa

τ_BC = 16·1.5 × 10⁶/(π·40³) = 119.4 MPa

答案

τ_max = 119.4 MPa

4.轴的扭转

答案: τ_max = 3.04 MPa

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m

极惯性矩

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3.77 × 10⁶ mm⁴

最大切应力

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·40/3.77 × 10⁶ = 3.04 MPa

答案

τ_max = 3.04 MPa

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 9 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2.5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 20·0.5 − 8·0.5·0.25 = 9 kN·m

答案

M_x = 9 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 193.1 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·3 + 12·8·4

R_B = 549/8 = 68.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 151 − 68.63 = 82.38 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 82.38·3 − 12·3·1.5 = 193.1 kN·m

答案

M_x = 193.1 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 18.46 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167.5 mm

腹板: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·167.5 + 2880·80)/6480 = 128.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·15³/12 + 3600·(167.5 − 128.6)² = 5.512 × 10⁶ mm⁴

腹板: 18·160³/12 + 2880·(80 − 128.6)² = 1.295 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.512 × 10⁶ + 1.295 × 10⁷ = 1.846 × 10⁷ mm⁴ = 18.46 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 18.46 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_max = 53.28 MPa

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 240 − 2·20 = 200 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·240³ − 106·200³)/12

I_x = 6.757 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

y = 120 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·120/6.757 × 10⁷ = 53.28 MPa

答案

σ_max = 53.28 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_max = 98.62 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

莫尔圆半径

τ_max = R = √(((100 − −70)/2)² + −50²) = 98.62 MPa

答案

τ_max = 98.62 MPa

10.莫尔圆与应力变换

答案: τ_θ = 14.64 MPa

变换公式

τ_θ = −40·−0.866 + −40·0.5 = 14.64 MPa

答案

τ_θ = 14.64 MPa

11.梁的挠度

答案: δ = 32.47 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·9.24 × 10¹¹) = 32.47 mm

答案

δ = 32.47 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 552.3 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·6000⁴/(384·11000·16.67) = 5.523 × 10⁸ mm⁴

I_req = 552.3 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 552.3 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 444.1 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1000² = 444132 N = 444.1 kN

答案

P_cr = 444.1 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 137.2 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 137.2 mm

答案

d = 137.2 mm

校核：长细比 KL/r 为 291.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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