材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根铜管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa）内。二者长度均为 800 mm，在刚性板之间被 100 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 100 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 55 kN第 1 段：Ø40 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø12 mm，0.5 m，铝（E = 70 GPa）

δ = mm

3.轴的扭转中等

一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 100 N·md = 20 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 3000 rpm 下传递 15 kW，且切应力不超过 80 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 15 kWN = 3000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 mx = 2.5 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 5.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5.5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m

M_max = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 40 MPa，容许压应力为 120 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 120 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。求面内最大切应力 τ_max。

σ_x = 120 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 50 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 35° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 12 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 100 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 h_req。

w = 2.5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)b = 100 mm

h_req = mm

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 20 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 20 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.1572 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·3063 = 5.089 × 10⁸ N

缩短量

δ = 100000·800/5.089 × 10⁸ = 0.1572 mm

答案

δ = 0.1572 mm

2.轴向应力与应变

答案: δ = 4.724 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 43.77 MPa

σ₂ = 486.3 MPa

叠加各段伸长量

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 43.77·2000/70000 = 1.251 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 486.3·500/70000 = 3.474 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4.724 mm

答案

δ = 4.724 mm

3.轴的扭转

答案: φ = 6.839 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(80000·15708) = 0.1194 rad

φ = 0.1194·180/π = 6.839°

答案

φ = 6.839°

4.轴的扭转

答案: d = 14.49 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 15000/314.2 = 47.75 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·47746/(π·80)) = 14.49 mm

答案

d = 14.49 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: V_x = −2 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 8 − 4·2.5 = −2 kN

答案

V_x = −2 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 2.954 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5.5 = 11 kN，作用于 x̄ = 2.75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·5.5·2.75

R_B = 30.25/4 = 7.563 kN

ΣF_y = 0: R_A = 11 − 7.563 = 3.438 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 3.438/2 = 1.719 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 3.438²/(2·2) = 2.954 kN·m

答案

M_max = 2.954 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 27.16 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227.5 mm

腹板: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·227.5 + 2200·110)/5500 = 180.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·15³/12 + 3300·(227.5 − 180.5)² = 7.352 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·220³/12 + 2200·(110 − 180.5)² = 1.981 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.352 × 10⁶ + 1.981 × 10⁷ = 2.716 × 10⁷ mm⁴ = 27.16 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 27.16 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: M_allow = 12.21 kN·m

形心

ȳ = (2500·312.5 + 3600·150)/6100 = 216.6 mm

上边缘: c = 325 − 216.6 = 108.4 mm

惯性矩

I = 100·25³/12 + 2500·95.9² + 12·300³/12 + 3600·66.6² = 6.609 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 120·6.609 × 10⁷/108.4 = 73.16 kN·m

下边缘: M = 40·6.609 × 10⁷/216.6 = 12.21 kN·m

控制值

M_allow = min = 12.21 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 12.21 kN·m

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_max = 25 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

莫尔圆半径

τ_max = R = √(((120 − 90)/2)² + 20²) = 25 MPa

答案

τ_max = 25 MPa

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = 88.53 MPa

变换公式

σ_θ = 80 + −30·0.342 + 20·0.9397 = 88.53 MPa

答案

σ_θ = 88.53 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_max = 57.44 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 57.44 mm

答案

δ_max = 57.44 mm

12.梁的挠度

答案: h_req = 178.4 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2.5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2.5·4000⁴/(384·11000·16) = 4.735 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·4.735 × 10⁷/100)^1/3 = 178.4 mm

答案

h_req = 178.4 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 12.21 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

计算长度

KL = 1·1500 = 1500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1500² = 12209 N = 12.21 kN

答案

P_cr = 12.21 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 25.97 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 25.97 mm

答案

d = 25.97 mm

校核：长细比 KL/r 为 161.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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