材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根青铜管（外径 100 mm，内径 70 mm，E = 110 GPa）内。二者长度均为 800 mm，在刚性板之间被 250 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 250 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 75 kN第 1 段：Ø30 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø16 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）

δ = mm

3.轴的扭转中等

一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 250 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 1500 rpm 下传递 10 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mP = 35 kN 位于 6 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 m

M_max = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 200 mm 的板有一个宽 50 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 200 mm切口: 50 × 50 mm孔心: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = −30 MPa、σᵧ = 20 MPa。在最大主应力达到 35 MPa 之前，切应力 τ_xy（大小）最大可以是多少？

σ_x = −30 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 35 MPa

τ_xy = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 40° 的截面上的切应力 τ_θ（正方向与 τₓᵧ 相同）。

σ_x = 100 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 26 kNa = 1 mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.3437 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·4006 = 5.82 × 10⁸ N

缩短量

δ = 250000·800/5.82 × 10⁸ = 0.3437 mm

答案

δ = 0.3437 mm

2.轴向应力与应变

答案: δ = 8.521 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 106.1 MPa

σ₂ = 373 MPa

叠加各段伸长量

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 106.1·2000/200000 = 1.061 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 373·2000/100000 = 7.46 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8.521 mm

答案

δ = 8.521 mm

3.轴的扭转

答案: φ = 1.347 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·613592) = 0.02351 rad

φ = 0.02351·180/π = 1.347°

答案

φ = 1.347°

4.轴的扭转

答案: d = 17.55 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 10000/157.1 = 63.66 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·60)) = 17.55 mm

答案

d = 17.55 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 18 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2.5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 15·2 − 6·2·1 = 18 kN·m

答案

M_x = 18 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 108 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·6 + 2·10·5

R_B = 310/10 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 31 = 24 kN

V = 0 在哪里？

V(6⁻) = R_A − w·6 = 12 kN

V(6⁺) = 12 − 35 = −23 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·6 − w·6²/2 = 24·6 − 2·6²/2 = 108 kN·m

答案

M_max = 108 kN·m

它出现在距 A 为 x = 6 m 处。

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 32.34 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227.5 mm

腹板: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·227.5 + 3080·110)/5780 = 164.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·15³/12 + 2700·(227.5 − 164.9)² = 1.064 × 10⁷ mm⁴

腹板: 14·220³/12 + 3080·(110 − 164.9)² = 2.17 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.064 × 10⁷ + 2.17 × 10⁷ = 3.234 × 10⁷ mm⁴ = 32.34 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 32.34 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: I_x = 78.36 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (24000·100 − 2500·120)/(24000 − 2500) = 97.67 mm

完整的板关于 ȳ

120·200³/12 + 24000·2.326² = 80.13 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

50·50³/12 + 2500·22.33² = 1.767 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 78.36 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 78.36 × 10⁶ mm⁴

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_xy = 31.22 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

所需半径

C = (−30 + 20)/2 = −5 MPa

R = σ₁ − C = 35 − (−5) = 40 MPa

切应力

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 25²) = 31.22 MPa

答案

τ_xy = 31.22 MPa

10.莫尔圆与应力变换

答案: τ_θ = −81.69 MPa

变换公式

τ_θ = −90·0.9848 + 40·0.1736 = −81.69 MPa

答案

τ_θ = −81.69 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_P = 1.605 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 26000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 26000·1000²·2000²/(3·7.2 × 10¹²·3000) = 1.605 mm

答案

δ_P = 1.605 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 68.18 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·2000⁴/(384·11000·5.556) = 6.818 × 10⁷ mm⁴

I_req = 68.18 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 68.18 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 347.3 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 2·1000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347.3 kN

答案

P_cr = 347.3 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 25.18 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

回转半径和长细比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/6.25 = 280

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25.18 MPa

答案

σ_cr = 25.18 MPa

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