轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求钢杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 25 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 20 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 30 mm，长 200 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 80 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 200 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1000 rpm 下传递 10 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 10 kWN = 1000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 9.5 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mw = 5 kN/m，从 0 到 10 mx = 9.5 m
Vx = kN
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mP = 15 kN 位于 4 mw = 5 kN/m，从 0 到 6 mx = 3.5 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
对称工字形截面的翼缘宽 170 mm、厚 14 mm，总高度 240 mm，腹板厚 14 mm。 求其对水平形心轴 x 的惯性矩 Ix。
B = 170 mmH = 240 mmtf = 14 mmtw = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 240 mm 的板有一个宽 80 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 96 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 240 mm切口: 80 × 50 mm孔心: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 70 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。单元体按顺时针 20°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。
σx = 70 MPaσy = 70 MPaτxy = 30 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −40 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = −40 MPaσy = 110 MPaτxy = 50 MPa
σvM = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 5.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 27 kNa = 5.5 mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 30 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 621.7 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 25·1000/201.1 = 124.3 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 124.3/200000 = 0.0006217 = 621.7 µε
答案
ε = 621.7 µε
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 73.55 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 110000·706.9/200 = 388772 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 80000·388772/598212 = 51991 N
应力
σ2 = 51991/706.9 = 73.55 MPa （压缩）
答案
σ2 = 73.55 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 2.155 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(26000·613592) = 0.03761 rad
φ = 0.03761·180/π = 2.155°
答案
φ = 2.155°
4.轴的扭转
答案: d = 20.09 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 10000/104.7 = 95.49 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·60)) = 20.09 mm
答案
d = 20.09 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: Vx = −22.5 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
在 x = 9.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 25 − 5·9.5 = −22.5 kN
答案
Vx = −22.5 kN
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 39.38 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·4 + 5·6·3
RB = 150/6 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 25 = 20 kN
在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 20·3.5 − 5·3.5·1.75 = 39.38 kN·m
答案
Mx = 39.38 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 71.97 × 10⁶ mm⁴
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 240 − 2·14 = 212 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (170·240³ − 156·212³)/12
Ix = 7.197 × 10⁷ mm⁴ = 71.97 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 71.97 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 134.7 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (28800·120 − 4000·96)/(28800 − 4000) = 123.9 mm
完整的板关于 ȳ
120·240³/12 + 28800·−3.871² = 138.7 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
80·50³/12 + 4000·−27.87² = 3.94 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 134.7 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 134.7 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: σy′ = 89.28 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
y′ 面的变换公式
σy′ = 70 − 0·0.766 − 30·(−0.6428) = 89.28 MPa
校核
正应力之和不随旋转而变化。
σx′ = 50.72 MPa, σx′ + σy′ = 140 = σx + σy
答案
σy′ = 89.28 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 160 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 35 MPa, R = 90.14 MPa
σ1 = 125.1 MPa, σ2 = −55.14 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(125.1² − 125.1·(−55.14) + (−55.14)²) = 160 MPa
答案
σvM = 160 MPa
11.梁的挠度
答案: δP = 12.66 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 27000 N, a = 5500 mm, b = 2500 mm, L = 8000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 27000·5500²·2500²/(3·1.68 × 10¹³·8000) = 12.66 mm
答案
δP = 12.66 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 9.229 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 30000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 30000·3000³/(48·2.4 × 10¹²) = 7.031 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 2.197 mm
相加
δmax = 7.031 + 2.197 = 9.229 mm
答案
δmax = 9.229 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 56.85 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
计算长度
KL = 1·2500 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2500² = 56849 N = 56.85 kN
答案
Pcr = 56.85 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 56.65 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/15 = 186.7
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186.7² = 56.65 MPa
答案
σcr = 56.65 MPa
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