材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa）放在一根铜管（外径 100 mm，内径 60 mm，E = 120 GPa）内。二者长度均为 300 mm，在刚性板之间被 80 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 80 kN杆: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根铜管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 120 GPa，许用应力 70 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 P_max。

杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.轴的扭转中等

一根空心铝轴（外径 50 mm，内径 25 mm，长 2.5 m）一端固定，另一端受 400 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。

T = 400 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 2.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根空心轴在 1000 rpm 下传递 20 kW。求轴中的最大切应力 τ_max。

P = 20 kWN = 1000 rpmd_o = 75 mmd_i = 53 mm

τ_max = MPa

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 2 kN/m，从 0 到 4 mx = 3 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mP = 35 kN 位于 3 mw = 4 kN/m，从 0 到 5 m

M_max = kN·m

7.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 170 mm、厚 16 mm，总高度 400 mm，腹板厚 14 mm。求其对水平形心轴 x 的惯性矩 I_x。

B = 170 mmH = 400 mmt_f = 16 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 50 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmM = 50 kN·m

σ_底部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 140 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θ_p，取值在 −90° 到 90° 之间。

σ_x = 140 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = 60 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 25° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = −60 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 3 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 22 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.03422 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·5027 = 7.014 × 10⁸ N

缩短量

δ = 80000·300/7.014 × 10⁸ = 0.03422 mm

答案

δ = 0.03422 mm

2.轴向应力与应变

答案: P_max = 668.9 kN

面积

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·7461 = 1.147 × 10⁹ N

控制应变

ε = min(0.00125, 0.0005833) = 0.0005833 (铜)

最大载荷

P_max = 0.0005833·1.147 × 10⁹ = 668897 N = 668.9 kN

答案

P_max = 668.9 kN

3.轴的扭转

答案: φ = 3.831 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

扭转角

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·2500/(26000·575243) = 0.06686 rad

φ = 0.06686·180/π = 3.831°

答案

φ = 3.831°

4.轴的扭转

答案: τ_max = 3.072 MPa

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m

极惯性矩

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

最大切应力

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·37.5/2.332 × 10⁶ = 3.072 MPa

答案

τ_max = 3.072 MPa

5.剪力和弯矩

答案: V_x = −2 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 4 − 2·3 = −2 kN

答案

V_x = −2 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 54 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·3 + 4·5·2.5

R_B = 155/5 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 31 = 24 kN

V = 0 在哪里？

V(3⁻) = R_A − w·3 = 12 kN

V(3⁺) = 12 − 35 = −23 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 24·3 − 4·3²/2 = 54 kN·m

答案

M_max = 54 kN·m

它出现在距 A 为 x = 3 m 处。

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 258.8 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 400 − 2·16 = 368 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·400³ − 156·368³)/12

I_x = 2.588 × 10⁸ mm⁴ = 258.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 258.8 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 152.2 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

腹板: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·310 + 4200·150)/6200 = 201.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·20³/12 + 2000·(310 − 201.6)² = 2.356 × 10⁷ mm⁴

腹板: 14·300³/12 + 4200·(150 − 201.6)² = 4.269 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.356 × 10⁷ + 4.269 × 10⁷ = 6.625 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 201.6 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·201.6/6.625 × 10⁷ = 152.2 MPa

答案

σ_底部 = 152.2 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_p = −14.31 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θ_p = atan2(2·−60, 140 − −80) = −28.61°

单元体上的角度

θ_p = −14.31°

答案

θ_p = −14.31°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = −69.21 MPa

变换公式

σ_θ = 0 + −60·0.6428 + −40·0.766 = −69.21 MPa

答案

σ_θ = −69.21 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_P = 1.473 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 22000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 22000·3000²·1000²/(3·1.12 × 10¹³·4000) = 1.473 mm

答案

δ_P = 1.473 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 41.85 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·5000⁴/(384·70000·13.89) = 4.185 × 10⁷ mm⁴

I_req = 41.85 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 41.85 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 3.312 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

计算长度

KL = 2·4000 = 8000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/8000² = 3312 N = 3.312 kN

答案

P_cr = 3.312 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 4.819 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

回转半径和长细比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/6.25 = 640

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4.819 MPa

答案

σ_cr = 4.819 MPa

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