轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 30 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 40 mm，长 500 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.3 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 30 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 30 mm，长 300 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 20 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根长 1 m 的实心黄铜轴承受 1000 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 1°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 1000 N·mL = 1 mG = 39 GPaφallow = 1°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根实心黄铜轴在 1450 rpm 下传递 30 kW。切应力不得超过 80 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 1°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 30 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 1.5 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 55 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mM0 = 55 kN·m 顺时针，作用于 1.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 8 mP = 30 kN 位于 2 mw = 6 kN/m，从 0 到 8 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
槽形截面开口朝上：由宽 300 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 170 mm。底板和两肢厚度均为 12 mm。 求形心到底边的高度 ȳ。
b = 300 mmh = 170 mmt = 12 mm
ȳ = mm
8.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 40 MPa，容许压应力为 120 MPa。 求梁能承受的最大负弯矩 Mallow（给出其大小）。
bf = 100 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 120 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −20 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −20 MPaσy = 0 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 1200 mm，壁厚 10 mm，所盛气体的表压为 1.5 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 30° 的螺旋焊缝焊接而成。 求沿焊缝作用的切应力 |τn| 的大小。
D = 1200 mmt = 10 mmp = 1.5 MPaα = 30°
|τn| = MPa
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 4 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 70 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 70 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 36.48 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1257) = 3.979 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.3/8.223 × 10⁻⁶ = 36483 N = 36.48 kN
答案
P = 36.48 kN
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 10.04 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 110000·706.9/300 = 259181 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 20000·259181/730420 = 7097 N
应力
σ2 = 7097/706.9 = 10.04 MPa （压缩）
答案
σ2 = 10.04 MPa
3.轴的扭转
答案: d = 62.2 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1000/(39000·0.01745) = 1.469 × 10⁶ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 62.2 mm
答案
d = 62.2 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: d = 41.47 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 30000/151.8 = 197.6 N·m
按强度求直径
T = 197.6 N·m = 197572 N·mm
dτ = ∛(16·197572/(π·80)) = 23.26 mm
按刚度求直径
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·197572/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 41.47 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(23.26, 41.47) = 41.47 mm
答案
d = 41.47 mm
这里由刚度控制。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −20.63 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 55/4 = 13.75 kN (向上)
RA = −RB = −13.75 kN (向下)
在力偶左侧紧邻处截开
左侧部分只包含 RA。
Mx = RA·a = −13.75·1.5 = −20.63 kN·m
答案
Mx = −20.63 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 82.69 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·2 + 6·8·4
RB = 252/8 = 31.5 kN
ΣFy = 0: RA = 78 − 31.5 = 46.5 kN
V = 0 在哪里？
RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (46.5 − 30)/6 = 2.75 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 2) − w·x0²/2 = 82.69 kN·m
答案
Mmax = 82.69 kN·m
它出现在距 A 为 x = 2.75 m 处。
7.形心和惯性矩
答案: ȳ = 49.6 mm
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成若干矩形
底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。
基质: A1 = 300·12 = 3600 mm², y1 = 6 mm
两肢: A2 = 2·12·158 = 3792 mm², y2 = 12 + 158/2 = 91 mm
形心
ȳ = (3600·6 + 3792·91)/7392 = 49.6 mm
答案
ȳ = 49.6 mm
8.形心和惯性矩
答案: Mallow = 4.615 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (1000·125 + 2400·60)/3400 = 79.12 mm
上边缘: c = 130 − 79.12 = 50.88 mm
惯性矩
I = 100·10³/12 + 1000·45.88² + 20·120³/12 + 2400·19.12² = 5.871 × 10⁶ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
负弯矩：上侧受拉，下侧受压。
上边缘: M = 40·5.871 × 10⁶/50.88 = 4.615 kN·m
下边缘: M = 120·5.871 × 10⁶/79.12 = 8.904 kN·m
控制值
Mallow = min = 4.615 kN·m (上边缘)
答案
Mallow = 4.615 kN·m
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 41.23 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−20 − 0)/2)² + 40²) = 41.23 MPa
答案
τmax = 41.23 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: |τn| = 19.49 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 1.5·600/10 = 90 MPa
σa = pr/(2t) = 45 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
|τn| = (90 − 45)·sin 30°·cos 30° = 19.49 MPa
答案
|τn| = 19.49 MPa
11.梁的挠度
答案: δ = 34.47 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·1.7 × 10¹²) = 34.47 mm
答案
δ = 34.47 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 2.143 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·2000⁴/(384·70000·5.556) = 2.143 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2.143 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 2.143 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 8.032 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
计算长度
KL = 1·4000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/4000² = 8032 N = 8.032 kN
答案
Pcr = 8.032 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 66.46 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·70000 = 210000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 66.46 mm
答案
d = 66.46 mm
校核：长细比 KL/r 为 180.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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