轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 50 mm，长 400 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根青铜管（外径 80 mm，内径 60 mm，E = 110 GPa，许用应力 50 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
一根长 1.2 m 的实心钢轴承受 750 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 1°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 750 N·mL = 1.2 mG = 80 GPaφallow = 1°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根直径 50 mm 的实心黄铜轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 3 m、距 B 1 m 的 C 处施加 250 N·m 的扭矩。 求截面 C 的转角 φC，以度表示。
d = 50 mmT0 = 250 N·ma = 3 mb = 1 mG = 39 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 3 m 处承受集中荷载 P。 求在固定端 A 处的弯矩 MA。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mP = 75 kN 位于 3 mw = 2 kN/m，从 0 到 4 m
MA = kN·m
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求支座 B 处的弯矩 MB。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
MB = kN·m
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 160 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 210 mm、厚 12 mm，总高度 280 mm，腹板厚 10 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 50 kN·m。 求截面中最大弯曲应力 σmax 的大小。
B = 210 mmH = 280 mmtf = 12 mmtw = 10 mmM = 50 kN·m
σmax = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −80 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = −80 MPaσy = −40 MPaτxy = 50 MPa
θs = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 50° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 100 MPaσy = 110 MPaτxy = −10 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 18 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 20 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 20 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 67.8 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1.698 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.25/3.687 × 10⁻⁶ = 67804 N = 67.8 kN
答案
P = 67.8 kN
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 154.6 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·2199 = 3.401 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.00125, 0.0004545) = 0.0004545 (青铜)
最大载荷
Pmax = 0.0004545·3.401 × 10⁸ = 154581 N = 154.6 kN
答案
Pmax = 154.6 kN
3.轴的扭转
答案: d = 50.62 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 750000·1200/(80000·0.01745) = 644578 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 50.62 mm
答案
d = 50.62 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: φC = 0.4489 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·1/4 = 62.5 N·m
TB = 250·3/4 = 187.5 N·m
C 的转角
用 AC 段：它在 A 端固定，承受 TA。
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 62500·3000/(39000·613592) = 0.007835 rad = 0.4489°
答案
φC = 0.4489°
5.剪力和弯矩
答案: MA = −241 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −75·3 = −225 kN·m
w: −2·4²/2 = −16 kN·m
MA = −225 − 16 = −241 kN·m
答案
MA = −241 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
6.剪力和弯矩
答案: MB = −4 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·10·5
RB = 100/8 = 12.5 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 12.5 = 7.5 kN
在 B 处截开，保留外伸段
外伸段上的荷载 w·a 作用在距 B 为 a/2 处，使梁在支座上方产生负弯矩。
MB = −w·a²/2 = −2·2²/2 = −4 kN·m
答案
MB = −4 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 41.04 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 160·30 = 4800 mm², yf = 240 + 30/2 = 255 mm
腹板: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·255 + 2400·120)/7200 = 210 mm
平行移轴定理
翼缘: 160·30³/12 + 4800·(255 − 210)² = 1.008 × 10⁷ mm⁴
腹板: 10·240³/12 + 2400·(120 − 210)² = 3.096 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.008 × 10⁷ + 3.096 × 10⁷ = 4.104 × 10⁷ mm⁴ = 41.04 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 41.04 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σmax = 66.96 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 280 − 2·12 = 256 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·280³ − 200·256³)/12
Ix = 1.045 × 10⁸ mm⁴
弯曲应力
y = 140 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·140/1.045 × 10⁸ = 66.96 MPa
答案
σmax = 66.96 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: θs = 10.9 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = 50/53.85 = 0.9285, sin 2θs = −(−20)/53.85 = 0.3714
2θs = atan2(20, 50) = 21.8°
单元体上的角度
θs = 10.9°
校核: θs − θp = 10.9 − 55.9 = −45°
答案
θs = 10.9°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 96.02 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 105 + −5·−0.1736 + −10·0.9848 = 96.02 MPa
答案
σθ = 96.02 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 3.348 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 3.348 mm
答案
δmax = 3.348 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 36.36 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 18000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 18000·4000³/(48·1.76 × 10¹²) = 13.64 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 22.73 mm
相加
δmax = 13.64 + 22.73 = 36.36 mm
答案
δmax = 36.36 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 2.366 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
计算长度
KL = 2·2000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2.366 kN
答案
Pcr = 2.366 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 55.1 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 55.1 mm
答案
d = 55.1 mm
校核：长细比 KL/r 为 181.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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