材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 15 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 120 MPa）放在一根铜管（外径 80 mm，内径 60 mm，E = 120 GPa，许用应力 60 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 P_max。

杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.轴的扭转中等

在扭转试验中，一根直径 12 mm 的实心试件受 40 N·m 的扭矩作用。标距 250 mm 两端的相对转角为 7.22°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。

T = 40 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 7.22°

G = GPa

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 750 rpm 下传递 75 kW，且切应力不超过 75 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 mx = 0.5 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 50 kN 位于 1 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 97.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 150 mmd = 60 mm孔心: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 5 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 40 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θ_p，取值在 −90° 到 90° 之间。

σ_x = 40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 30 MPa，σᵧ = 20 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 40° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 4.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 22 kNa = 4.5 mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.梁的挠度困难

简支梁在距支座 B 为 b = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求跨中挠度 δ_mid。

P = 29 kNb = 1.5 mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 135 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 135 kNn = 2L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 1.989 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113.1 = 132.6 MPa

应变（胡克定律）

E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 132.6/100000 = 0.001326 = 1326 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.001326·1500 mm = 1.989 mm

答案

δ = 1.989 mm

2.轴向应力与应变

答案: P_max = 181 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·2199 = 3.621 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.0006, 0.0005) = 0.0005 (铜)

最大载荷

P_max = 0.0005·3.621 × 10⁸ = 181034 N = 181 kN

答案

P_max = 181 kN

3.轴的扭转

答案: G = 38.98 GPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩和角度

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 7.22·π/180 = 0.126 rad

剪切模量

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(2036·0.126) = 38982 MPa

G = 38.98 GPa

答案

G = 38.98 GPa

作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。

4.轴的扭转

答案: d = 40.18 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·75)) = 40.18 mm

答案

d = 40.18 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: V_x = 12 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2.5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 15 − 6·0.5 = 12 kN

答案

V_x = 12 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 37 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1 + 6·4·2

R_B = 98/4 = 24.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 74 − 24.5 = 49.5 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 49.5·2 − 50·(2 − 1) − 6·2·1 = 37 kN·m

答案

M_x = 37 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 31.42 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (18000·75 − 2827·97.5)/(18000 − 2827) = 70.81 mm

完整的板关于 ȳ

120·150³/12 + 18000·4.193² = 34.07 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·26.69² = 2.651 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 31.42 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 31.42 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 6.109 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

腹板: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·295 + 5600·140)/9200 = 200.7 mm

平行移轴定理

翼缘: 120·30³/12 + 3600·(295 − 200.7)² = 3.232 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·280³/12 + 5600·(140 − 200.7)² = 5.719 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.232 × 10⁷ + 5.719 × 10⁷ = 8.95 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 310 − 200.7 = 109.3 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·109.3/8.95 × 10⁷ = 6.109 MPa

答案

σ_顶部 = 6.109 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_p = −37.98 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θ_p = atan2(2·−20, 40 − 30) = −75.96°

单元体上的角度

θ_p = −37.98°

答案

θ_p = −37.98°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = −33.22 MPa

变换公式

σ_θ = 25 + 5·0.1736 + −60·0.9848 = −33.22 MPa

答案

σ_θ = −33.22 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_P = 12.11 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 22000 N, a = 4500 mm, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 22000·4500²·1500²/(3·4.6 × 10¹²·6000) = 12.11 mm

答案

δ_P = 12.11 mm

12.梁的挠度

答案: δ_mid = 12.46 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 29000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

跨中挠度

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 29000·1500·(3·6000² − 4·1500²)/(48·7.2 × 10¹²) = 12.46 mm

答案

δ_mid = 12.46 mm

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 2.481 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2.481 kN

答案

P_cr = 2.481 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 92 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 92 mm

答案

d = 92 mm

校核：长细比 KL/r 为 130.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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