轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa）放在一根铜管（外径 100 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa）内。二者长度均为 400 mm，在刚性板之间被 300 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 300 kN杆: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 60 kN第 1 段：Ø35 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 25 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1500 rpm 下传递 100 kW，且切应力不超过 40 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 100 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
15 kN @ 2 m35 kN @ 10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mP = 20 kN 位于 2 mw = 10 kN/m，从 0 到 4 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
槽形截面开口朝上：由宽 120 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 110 mm。底板和两肢厚度均为 14 mm。 求形心到底边的高度 ȳ。
b = 120 mmh = 110 mmt = 14 mm
ȳ = mm
8.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 140 mm、厚 18 mm，总高度 340 mm，腹板厚 8 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 80 kN·m。 求腹板与上翼缘交界处弯曲应力 σj 的大小。
B = 140 mmH = 340 mmtf = 18 mmtw = 8 mmM = 80 kN·m
σj = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 50 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 50 MPaσy = 70 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 70 MPa，σᵧ = 50 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 30° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = 70 MPaσy = 50 MPaτxy = −10 MPaθ = -30°
τθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 20 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 5 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 70 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 70 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1559 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·5890 = 7.697 × 10⁸ N
缩短量
δ = 300000·400/7.697 × 10⁸ = 0.1559 mm
答案
δ = 0.1559 mm
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 298.4 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 62.36 MPa
σ2 = 298.4 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 298.4 MPa
答案
σmax = 298.4 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 3.735 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(80000·38350) = 0.06519 rad
φ = 0.06519·180/π = 3.735°
答案
φ = 3.735°
4.轴的扭转
答案: d = 43.28 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 100000/157.1 = 636.6 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·636620/(π·40)) = 43.28 mm
答案
d = 43.28 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: F (x = 10 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 18.33 kN, R2 = 31.67 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 36.67, MC = 43.33, MD = 50, ME = 56.67, MF = 63.33 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = 63.33 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 33.75 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·2 + 10·4·2
RB = 120/4 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 30·2.5 − 20·(2.5 − 2) − 10·2.5·1.25 = 33.75 kN·m
答案
Mx = 33.75 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: ȳ = 40.85 mm
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成若干矩形
底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。
基质: A1 = 120·14 = 1680 mm², y1 = 7 mm
两肢: A2 = 2·14·96 = 2688 mm², y2 = 14 + 96/2 = 62 mm
形心
ȳ = (1680·7 + 2688·62)/4368 = 40.85 mm
答案
ȳ = 40.85 mm
8.形心和惯性矩
答案: σj = 81.33 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 340 − 2·18 = 304 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·340³ − 132·304³)/12
Ix = 1.495 × 10⁸ mm⁴
弯曲应力
y = 170 − 18 = 152 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·152/1.495 × 10⁸ = 81.33 MPa
答案
σj = 81.33 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −49.73 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−60, 50 − 70) = −99.46°
单元体上的角度
θp = −49.73°
答案
θp = −49.73°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = 3.66 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −10·−0.866 + −10·0.5 = 3.66 MPa
答案
τθ = 3.66 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 1.211 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 1.211 mm
答案
δmax = 1.211 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 1.13 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·1500⁴/(384·70000·4.167) = 1.13 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1.13 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 1.13 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 37.85 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37.85 kN
答案
Pcr = 37.85 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 81.97 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·70000 = 175000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 81.97 mm
答案
d = 81.97 mm
校核：长细比 KL/r 为 244，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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