轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 30 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 30 kN第 1 段：Ø30 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø12 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 750 rpm 下传递 100 kW，且切应力不超过 40 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 100 kWN = 750 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 1.5 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 55 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mM0 = 55 kN·m 顺时针，作用于 1.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
40 kN @ 0 m50 kN @ 12 m30 kN @ 8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 200 mm 的板有一个宽 50 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 70 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 200 mm切口: 50 × 40 mm孔心: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 40 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 40 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 140 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 30° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = 140 MPaσy = 110 MPaτxy = −10 MPaθ = 30°
τθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 5 mw = 12 kN/m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 20 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 20 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 1492 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 30·1000/201.1 = 149.2 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 149.2/100000 = 0.001492 = 1492 µε
答案
ε = 1492 µε
2.轴向应力与应变
答案: δ = 6.154 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 42.44 MPa
σ2 = 265.3 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 42.44·2000/100000 = 0.8488 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 265.3·2000/100000 = 5.305 mm
δ = δ1 + δ2 = 6.154 mm
答案
δ = 6.154 mm
3.轴的扭转
答案: φ = 0.7183 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(39000·613592) = 0.01254 rad
φ = 0.01254·180/π = 0.7183°
答案
φ = 0.7183°
4.轴的扭转
答案: d = 54.53 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.273 × 10⁶/(π·40)) = 54.53 mm
答案
d = 54.53 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −16.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 55/5 = 11 kN (向上)
RA = −RB = −11 kN (向下)
在力偶左侧紧邻处截开
左侧部分只包含 RA。
Mx = RA·a = −11·1.5 = −16.5 kN·m
答案
Mx = −16.5 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: F (x = 10 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 45 kN, R2 = 75 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −80, MC = −70, MD = −60, ME = −50, MF = −100 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = −100 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 97.57 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 300 + 25/2 = 312.5 mm
腹板: Aw = 16·300 = 4800 mm², yw = 300/2 = 150 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·312.5 + 4800·150)/9300 = 228.6 mm
平行移轴定理
翼缘: 180·25³/12 + 4500·(312.5 − 228.6)² = 3.189 × 10⁷ mm⁴
腹板: 16·300³/12 + 4800·(150 − 228.6)² = 6.568 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.189 × 10⁷ + 6.568 × 10⁷ = 9.757 × 10⁷ mm⁴ = 97.57 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 97.57 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 77.77 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (24000·100 − 2000·70)/(24000 − 2000) = 102.7 mm
完整的板关于 ȳ
120·200³/12 + 24000·−2.727² = 80.18 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
50·40³/12 + 2000·−32.73² = 2.409 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 77.77 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 77.77 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 20.3 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·30, 40 − −30) = 40.6°
单元体上的角度
θp = 20.3°
答案
θp = 20.3°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −17.99 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −15·0.866 + −10·0.5 = −17.99 MPa
答案
τθ = −17.99 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 19.84 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 19.84 mm
答案
δmax = 19.84 mm
12.梁的挠度
答案: RB = 22.5 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·5/8 = 22.5 kN
答案
RB = 22.5 kN
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 34.33 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1050² = 34331 N = 34.33 kN
答案
Pcr = 34.33 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 29.99 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·20000 = 40000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 29.99 mm
答案
d = 29.99 mm
校核：长细比 KL/r 为 186.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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