材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 600 mm，在刚性板之间被 300 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 300 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

一段钢（直径 20 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 40 mm，长 300 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 60 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ₂。

第 1 段: 钢, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.轴的扭转中等

一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 100 N·md = 20 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根空心轴须在 300 rpm 下传递 5 kW。其内径为外径的 0.7 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 d_o。

P = 5 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0.7τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 10 kN/m，从 0 到 6 mx = 1 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 10 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 30 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 150 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θ_p，取值在 −90° 到 90° 之间。

σ_x = 150 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 140 MPa，σᵧ = 10 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 20° 的截面上的切应力 τ_θ（正方向与 τₓᵧ 相同）。

σ_x = 140 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。求自由端 B 处的挠度 δ_B。

P = 17 kNa = 2 mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 20 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (铝)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.5059 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·3063 = 3.558 × 10⁸ N

缩短量

δ = 300000·600/3.558 × 10⁸ = 0.5059 mm

答案

δ = 0.5059 mm

2.轴向应力与应变

答案: σ₂ = 31.09 MPa

刚度

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm

第 2 段的份额

F₂ = 60000·293215/450295 = 39070 N

应力

σ₂ = 39070/1257 = 31.09 MPa （压缩）

答案

σ₂ = 31.09 MPa

3.轴的扭转

答案: φ = 4.676 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(39000·15708) = 0.08162 rad

φ = 0.08162·180/π = 4.676°

答案

φ = 4.676°

4.轴的扭转

答案: d_o = 26.1 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m

由容许应力求外径

T = 159.2 N·m = 159155 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·159155/(π·60·0.7599)) = 26.1 mm

d_i = 0.7·26.1 = 18.27 mm

答案

d_o = 26.1 mm

实心轴需要 d = 23.82 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

5.剪力和弯矩

答案: V_x = 20 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 30 − 10·1 = 20 kN

答案

V_x = 20 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 12 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1 + 2·5·2.5

R_B = 35/5 = 7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 7 = 13 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 13·1 − 2·1·0.5 = 12 kN·m

答案

M_x = 12 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 46.38 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

腹板: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·230 + 4400·110)/8000 = 164 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·20³/12 + 3600·(230 − 164)² = 1.58 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·220³/12 + 4400·(110 − 164)² = 3.058 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.58 × 10⁷ + 3.058 × 10⁷ = 4.638 × 10⁷ mm⁴ = 46.38 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 46.38 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 24.11 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312.5 mm

腹板: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·312.5 + 6000·150)/11500 = 227.7 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·25³/12 + 5500·(312.5 − 227.7)² = 3.982 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·300³/12 + 6000·(150 − 227.7)² = 8.124 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.982 × 10⁷ + 8.124 × 10⁷ = 1.211 × 10⁸ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 325 − 227.7 = 97.28 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·97.28/1.211 × 10⁸ = 24.11 MPa

答案

σ_顶部 = 24.11 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_p = 35.78 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θ_p = atan2(2·60, 150 − 110) = 71.57°

单元体上的角度

θ_p = 35.78°

答案

θ_p = 35.78°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: τ_θ = −11.14 MPa

变换公式

τ_θ = −65·0.6428 + 40·0.766 = −11.14 MPa

答案

τ_θ = −11.14 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_B = 44.97 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 17000 N, a = 2000 mm, L = 4000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δ_P = Pa³/(3EI) = 17.99 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.01349 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 44.97 mm

答案

δ_B = 44.97 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 289.3 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·6000⁴/(384·70000·16.67) = 2.893 × 10⁸ mm⁴

I_req = 289.3 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 289.3 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 81.88 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

计算长度

KL = 1·1500 = 1500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/1500² = 81881 N = 81.88 kN

答案

P_cr = 81.88 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 35.25 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/10 = 140

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

答案

σ_cr = 35.25 MPa

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