材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等
250 kNØ40110 GPaØ100/70300 mmδ = ?

一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa）放在一根青铜管（外径 100 mm，内径 70 mm，E = 110 GPa）内。二者长度均为 300 mm，在刚性板之间被 250 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。

P = 250 kN杆: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
100 kN12400 mm400 mmØ40Ø30σ2​ = ?

一段钢（直径 40 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 30 mm，长 400 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 100 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。

第 1 段: 钢, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
do​ = 40, di​ = 28 mmT = 1000 N·mL = 0.5 m

一根空心钢轴（外径 40 mm，内径 28 mm，长 0.5 m）一端固定，另一端受 1000 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。

T = 1000 N·mdo = 40 mmdi = 28 mmL = 0.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
d = 40 mmT0​ = 100 N·mACBa = 3 mb = 1.5 m

一根直径 40 mm 的实心铝轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 3 m、距 B 1.5 m 的 C 处施加 100 N·m 的扭矩。 求截面 C 的转角 φC，以度表示。

d = 40 mmT0 = 100 N·ma = 3 mb = 1.5 mG = 26 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
M0​ = 25 kN·mAB4 m4 m

简支梁在距 A 为 x = 4 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 25 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mM0 = 25 kN·m 顺时针，作用于 4 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
w = 8 kN/mABC5 m2.5 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。

L = 7.5 mw = 8 kN/m，从 0 到 7.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
B = 200H = 225t = 18x尺寸单位为 mm

空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 200 mm，外高 H = 225 mm，壁厚均为 t = 18 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。

B = 200 mmH = 225 mmt = 18 mm
r = mm
8.形心和惯性矩困难
2003401212xM = 50 kN·m尺寸单位为 mm

对称工字形截面的翼缘宽 200 mm、厚 12 mm，总高度 340 mm，腹板厚 12 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 50 kN·m。 求腹板与上翼缘交界处弯曲应力 σj 的大小。

B = 200 mmH = 340 mmtf = 12 mmtw = 12 mmM = 50 kN·m
σj = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = 30τxy​ = −50MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 30 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = −50 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。

σx = 30 MPaσy = 0 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
σx​τxy​轴的表面

一根直径 30 mm 的实心轴承受100 kN 的轴向拉力，同时承受 100 N·m 的扭矩。 在轴的表面处， 求最大主应力 σ1。

d = 30 mmF = 100 kNT = 100 N·m
σ1 = MPa
11.梁的挠度中等
P = 16 kNABδ3.5 m4.5 m

简支梁在距支座 A 为 a = 3.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。

P = 16 kNa = 3.5 mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
P = 55 kNAB1.5 m1.5 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 3 mP = 55 kN 位于 1.5 m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
PL = 5 md = 80 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
P = 70 kNL = 2.5 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 70 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 70 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.1084 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·4006 = 6.919 × 10⁸ N

缩短量

δ = 250000·300/6.919 × 10⁸ = 0.1084 mm

答案

δ = 0.1084 mm
2.轴向应力与应变

答案: σ2 = 33.43 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 110000·706.9/400 = 194386 N/mm

第 2 段的份额

F2 = 100000·194386/822705 = 23628 N

应力

σ2 = 23628/706.9 = 33.43 MPa （压缩）

答案

σ2 = 33.43 MPa
3.轴的扭转

答案: φ = 1.875 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

扭转角

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·500/(80000·190984) = 0.03273 rad
φ = 0.03273·180/π = 1.875°

答案

φ = 1.875°
4.轴的扭转

答案: φC = 0.8768 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。

平衡和变形协调

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·1.5/4.5 = 33.33 N·m
TB = 100·3/4.5 = 66.67 N·m

C 的转角

用 AC 段：它在 A 端固定，承受 TA。

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 33333·3000/(26000·251327) = 0.0153 rad = 0.8768°

答案

φC = 0.8768°
5.剪力和弯矩

答案: Mx = −12.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 25/8 = 3.125 kN (向上)
RA = −RB = −3.125 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 RA。

Mx = RA·a = −3.125·4 = −12.5 kN·m

答案

Mx = −12.5 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: Mmax = 14.06 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·7.5 = 60 kN，作用于 x̄ = 3.75 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·7.5·3.75
RB = 225/5 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 45 = 15 kN

剪力为零

RA − w·x0 = 0 → x0 = 15/8 = 1.875 m

最大正弯矩

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 15²/(2·8) = 14.06 kN·m

答案

Mmax = 14.06 kN·m
7.形心和惯性矩

答案: r = 83.47 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

b = 164 mm, h = 189 mm
A = BH − bh = 200·225 − 164·189 = 14004 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 9.758 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(9.758 × 10⁷/14004) = 83.47 mm

答案

r = 83.47 mm
8.形心和惯性矩

答案: σj = 49.16 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。

hw = 340 − 2·12 = 316 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (200·340³ − 188·316³)/12
Ix = 1.607 × 10⁸ mm⁴

弯曲应力

y = 170 − 12 = 158 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·158/1.607 × 10⁸ = 49.16 MPa

答案

σj = 49.16 MPa
9.莫尔圆与应力变换

答案: τabs = 52.2 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。

στxyCσ1​σ2​

面内主应力

C = 15 MPa, R = √(15² + (−50)²) = 52.2 MPa
σ1 = 67.2 MPa, σ2 = −37.2 MPa, σz = 0

三个圆中最大的

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(104.4, 67.2, 37.2)/2 = 52.2 MPa

答案

τabs = 52.2 MPa

这里 σ₁ 和 σ₂ 异号，所以面内最大值 R 也就是绝对最大值。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ1 = 143.9 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

表面处的应力

σ = F/A = 100000/(π·30²/4) = 100000/706.9 = 141.5 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18.86 MPa
στxyCσ1​σ2​

莫尔圆

C = σ/2 = 70.74 MPa
R = √(70.74² + 18.86²) = 73.21 MPa
σ1 = C + R = 143.9 MPa
σ2 = C − R = −2.472 MPa

答案

σ1 = 143.9 MPa
11.梁的挠度

答案: δP = 5.168 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 16000 N, a = 3500 mm, b = 4500 mm, L = 8000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa²b²/(3EIL) = 16000·3500²·4500²/(3·3.2 × 10¹³·8000) = 5.168 mm

答案

δP = 5.168 mm
12.梁的挠度

答案: RB = 17.19 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·55/16 = 17.19 kN

答案

RB = 17.19 kN
13.柱的屈曲

答案: Pcr = 222.3 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2500² = 222253 N = 222.3 kN

答案

Pcr = 222.3 kN
14.柱的屈曲

答案: d = 50.76 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 3·70000 = 210000 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 50.76 mm

答案

d = 50.76 mm

校核：长细比 KL/r 为 137.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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