轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 65 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 85 kN第 1 段：Ø25 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根阶梯形实心黄铜轴在 A 端固定。AB 段直径 50 mm，长 1.5 m；BC 段直径 30 mm，长 0.5 m。自由端 C 作用 250 N·m 的扭矩。 求端部 C 的扭转角 φC，以度表示。
T = 250 N·md1 = 50 mm, L1 = 1.5 md2 = 30 mm, L2 = 0.5 mG = 39 GPa
φC = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 300 rpm 下传递 75 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 75 kWN = 300 rpmdo = 100 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8 mw = 5 kN/m，从 0 到 8 mx = 1 m
Vx = kN
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP = 45 kN 位于 1.5 mw = 3 kN/m，从 0 到 5 mx = 4 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 300 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 40 MPa，容许压应力为 150 MPa。 求梁能承受的最大正弯矩 Mallow。
bf = 160 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 260 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −30 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −30 MPaσy = 30 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −40 MPa，σᵧ = 60 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 45° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = −40 MPaσy = 60 MPaτxy = −10 MPaθ = 45°
τθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 6 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 8 mw = 10 kN/m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 15 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 15 kNn = 3L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 1768 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 65·1000/314.2 = 206.9 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 206.9/117000 = 0.001768 = 1768 µε
答案
ε = 1768 µε
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 422.8 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 173.2 MPa
σ2 = 422.8 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 422.8 MPa
答案
σmax = 422.8 MPa
3.轴的扭转
答案: φC = 3.207 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
各段的扭转角
T = 250 N·m = 250000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 250000·1500/(39000·613592) = 0.01567 rad
φBC = 250000·500/(39000·79522) = 0.04031 rad
总扭转角
φC = 0.01567 + 0.04031 = 0.05598 rad = 3.207°
答案
φC = 3.207°
4.轴的扭转
答案: τmax = 13.97 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m
极惯性矩
J = π(100⁴ − 60⁴)/32 = 8.545 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 2.387 × 10⁶·50/8.545 × 10⁶ = 13.97 MPa
答案
τmax = 13.97 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Vx = 15 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·8·4
RB = 160/8 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 20 − 5·1 = 15 kN
答案
Vx = 15 kN
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 19.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 45·1.5 + 3·5·2.5
RB = 105/5 = 21 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 21 = 39 kN
在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 39·4 − 45·(4 − 1.5) − 3·4·2 = 19.5 kN·m
答案
Mx = 19.5 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 45.58 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 300·25 = 7500 mm², yf = 220 + 25/2 = 232.5 mm
腹板: Aw = 14·220 = 3080 mm², yw = 220/2 = 110 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7500·232.5 + 3080·110)/10580 = 196.8 mm
平行移轴定理
翼缘: 300·25³/12 + 7500·(232.5 − 196.8)² = 9.929 × 10⁶ mm⁴
腹板: 14·220³/12 + 3080·(110 − 196.8)² = 3.565 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.929 × 10⁶ + 3.565 × 10⁷ = 4.558 × 10⁷ mm⁴ = 45.58 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 45.58 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Mallow = 12.36 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (3200·270 + 4160·130)/7360 = 190.9 mm
上边缘: c = 280 − 190.9 = 89.13 mm
惯性矩
I = 160·20³/12 + 3200·79.13² + 16·260³/12 + 4160·60.87² = 5.899 × 10⁷ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
正弯矩：上侧受压，下侧受拉。
上边缘: M = 150·5.899 × 10⁷/89.13 = 99.28 kN·m
下边缘: M = 40·5.899 × 10⁷/190.9 = 12.36 kN·m
控制值
Mallow = min = 12.36 kN·m (下边缘)
答案
Mallow = 12.36 kN·m
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 36.06 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−30 − 30)/2)² + 20²) = 36.06 MPa
答案
τmax = 36.06 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = 50 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −−50·1 + −10·0 = 50 MPa
答案
τθ = 50 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 57.53 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 57.53 mm
答案
δmax = 57.53 mm
12.梁的挠度
答案: RB = 30 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·8/8 = 30 kN
答案
RB = 30 kN
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 19.62 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 2·4000 = 8000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/8000² = 19621 N = 19.62 kN
答案
Pcr = 19.62 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 41.57 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·15000 = 45000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 41.57 mm
答案
d = 41.57 mm
校核：长细比 KL/r 为 144.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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