轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 65 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 100 kN第 1 段：Ø40 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1 m，黄铜（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 400 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 300 rpm 下传递 10 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 10 kWN = 300 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 7.5 mP1 = 30 kN 位于 3 mP2 = 25 kN 位于 7.5 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
55 kN @ 0 m40 kN @ 6 m55 kN @ 2 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 160 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。
bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 140 mmM = 5 kN·m
σ顶部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −60 MPaσy = 90 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 20 mm 的实心轴承受80 kN 的轴向拉力，同时承受 500 N·m 的扭矩。 在轴的表面处， 求面内最大切应力 τmax。
d = 20 mmF = 80 kNT = 500 N·m
τmax = MPa
11.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。
P = 4 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 22 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 140 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 140 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 5747 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 65·1000/113.1 = 574.7 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 574.7/100000 = 0.005747 = 5747 µε
答案
ε = 5747 µε
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 497.4 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 79.58 MPa
σ2 = 497.4 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 497.4 MPa
答案
σmax = 497.4 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 2.806 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(39000·251327) = 0.04897 rad
φ = 0.04897·180/π = 2.806°
答案
φ = 2.806°
4.轴的扭转
答案: τmax = 8.006 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m
极惯性矩
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 318310·30/1.193 × 10⁶ = 8.006 MPa
答案
τmax = 8.006 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 26.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·6 = 30·3 + 25·7.5
RB = 277.5/6 = 46.25 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 46.25 = 8.75 kN
在 P1 处截开，保留左侧部分
Mx = RA·3 = 8.75·3 = 26.25 kN·m
答案
Mx = 26.25 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 83.33 kN, R2 = 66.67 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −55, MC = −26.67, MD = −53.33, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −80 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 17.71 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 160·30 = 4800 mm², yf = 140 + 30/2 = 155 mm
腹板: Aw = 20·140 = 2800 mm², yw = 140/2 = 70 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·155 + 2800·70)/7600 = 123.7 mm
平行移轴定理
翼缘: 160·30³/12 + 4800·(155 − 123.7)² = 5.067 × 10⁶ mm⁴
腹板: 20·140³/12 + 2800·(70 − 123.7)² = 1.264 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.067 × 10⁶ + 1.264 × 10⁷ = 1.771 × 10⁷ mm⁴ = 17.71 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 17.71 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σ顶部 = 16.38 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 140 + 25/2 = 152.5 mm
腹板: Aw = 10·140 = 1400 mm², yw = 140/2 = 70 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·152.5 + 1400·70)/5900 = 132.9 mm
平行移轴定理
翼缘: 180·25³/12 + 4500·(152.5 − 132.9)² = 1.959 × 10⁶ mm⁴
腹板: 10·140³/12 + 1400·(70 − 132.9)² = 7.83 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.959 × 10⁶ + 7.83 × 10⁶ = 9.789 × 10⁶ mm⁴
弯曲应力
顶边距中性轴 h − ȳ。
y = 165 − 132.9 = 32.08 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·32.08/9.789 × 10⁶ = 16.38 MPa
答案
σ顶部 = 16.38 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 96.05 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−60 − 90)/2)² + 60²) = 96.05 MPa
答案
τmax = 96.05 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 342.8 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = F/A = 80000/(π·20²/4) = 80000/314.2 = 254.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·20³) = 318.3 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 127.3 MPa
R = √(127.3² + 318.3²) = 342.8 MPa
答案
τmax = 342.8 MPa
11.梁的挠度
答案: δB = 73.78 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 4000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²
自由端的挠度
荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。
δP = Pa³/(3EI) = 42.16 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.03162 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 73.78 mm
答案
δB = 73.78 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 6.129 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 22000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 22000·3000³/(48·4.6 × 10¹²) = 2.69 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 3.439 mm
相加
δmax = 2.69 + 3.439 = 6.129 mm
答案
δmax = 6.129 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 77.24 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2800² = 77244 N = 77.24 kN
答案
Pcr = 77.24 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 118.6 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·140000 = 420000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 118.6 mm
答案
d = 118.6 mm
校核：长细比 KL/r 为 134.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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