轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求钢杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 35 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 120 MPa）放在一根铜管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa，许用应力 100 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
一根长 0.5 m 的实心铝轴承受 1500 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 0.5°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 1500 N·mL = 0.5 mG = 26 GPaφallow = 0.5°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 1450 rpm 下传递 10 kW。 其内径为外径的 0.8 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。
P = 10 kWN = 1450 rpmdi/do = 0.8τallow = 60 MPa
do = mm
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 mx = 3.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8 mP = 20 kN 位于 4 mw = 3 kN/m，从 0 到 8 mx = 4 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 150 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 45 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mm孔心: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。
bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 280 mmM = 20 kN·m
σ底部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 0 MPa、σᵧ = −10 MPa。在最大主应力达到 35 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 0 MPaσy = −10 MPaσ1 = 35 MPa
τxy = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 50 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = 50 MPaσy = −50 MPaτxy = −50 MPa
σvM = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。
w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 100 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 hreq。
w = 1.5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)b = 100 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 140 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 140 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 2228 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 35·1000/78.54 = 445.6 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 445.6/200000 = 0.002228 = 2228 µε
答案
ε = 2228 µε
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 731.8 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·9346 = 1.22 × 10⁹ N
控制应变
ε = min(0.0006, 0.0008333) = 0.0006 (钢)
最大载荷
Pmax = 0.0006·1.22 × 10⁹ = 731834 N = 731.8 kN
答案
Pmax = 731.8 kN
3.轴的扭转
答案: d = 76.17 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad
J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·500/(26000·0.008727) = 3.306 × 10⁶ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 76.17 mm
答案
d = 76.17 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: do = 21.16 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 10000/151.8 = 65.86 N·m
由容许应力求外径
T = 65.86 N·m = 65857 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·65857/(π·60·0.5904)) = 21.16 mm
di = 0.8·21.16 = 16.92 mm
答案
do = 21.16 mm
实心轴需要 d = 17.75 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 5.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·5·2.5
RB = 25/5 = 5 kN
ΣFy = 0: RA = 10 − 5 = 5 kN
在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 5·3.5 − 2·3.5·1.75 = 5.25 kN·m
答案
Mx = 5.25 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 64 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·4 + 3·8·4
RB = 176/8 = 22 kN
ΣFy = 0: RA = 44 − 22 = 22 kN
在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 22·4 − 3·4·2 = 64 kN·m
答案
Mx = 64 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 39.94 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (22500·75 − 1963·45)/(22500 − 1963) = 77.87 mm
完整的板关于 ȳ
150·150³/12 + 22500·−2.868² = 42.37 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−32.87² = 2.428 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 39.94 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 39.94 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σ底部 = 73.87 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 280·30 = 8400 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
腹板: Aw = 10·280 = 2800 mm², yw = 280/2 = 140 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (8400·295 + 2800·140)/11200 = 256.3 mm
平行移轴定理
翼缘: 280·30³/12 + 8400·(295 − 256.3)² = 1.324 × 10⁷ mm⁴
腹板: 10·280³/12 + 2800·(140 − 256.3)² = 5.613 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.324 × 10⁷ + 5.613 × 10⁷ = 6.938 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
底边距中性轴 ȳ。
y = 256.3 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·256.3/6.938 × 10⁷ = 73.87 MPa
答案
σ底部 = 73.87 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 39.69 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (0 + (−10))/2 = −5 MPa
R = σ1 − C = 35 − (−5) = 40 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 5²) = 39.69 MPa
答案
τxy = 39.69 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 122.5 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 0 MPa, R = 70.71 MPa
σ1 = 70.71 MPa, σ2 = −70.71 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(70.71² − 70.71·(−70.71) + (−70.71)²) = 122.5 MPa
答案
σvM = 122.5 MPa
11.梁的挠度
答案: θA = 0.04235 rad
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
端部转角
θA = wL³/(24EI) = 8·6000³/(24·1.7 × 10¹²) = 0.04235 rad
答案
θA = 0.04235 rad
即 2.427°。
12.梁的挠度
答案: hreq = 239.9 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 1.5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/300 = 6000/300 = 20 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1.5·6000⁴/(384·11000·20) = 1.151 × 10⁸ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.151 × 10⁸/100)1/3 = 239.9 mm
答案
hreq = 239.9 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 5.552 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
计算长度
KL = 2·4000 = 8000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/8000² = 5552 N = 5.552 kN
答案
Pcr = 5.552 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 64.53 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·140000 = 420000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 64.53 mm
答案
d = 64.53 mm
校核：长细比 KL/r 为 124，柱为细长柱，适用欧拉公式。
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials