材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 60 mm，长 400 mm，E = 110 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.2 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

2.轴向应力与应变困难

一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa，许用应力 160 MPa）放在一根黄铜管（外径 120 mm，内径 60 mm，E = 100 GPa，许用应力 60 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 P_max。

杆: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.轴的扭转中等

一根阶梯形实心黄铜轴在 A 端固定。AB 段直径 60 mm，长 1 m；BC 段直径 50 mm，长 2.5 m。自由端 C 作用 750 N·m 的扭矩。求端部 C 的扭转角 φ_C，以度表示。

T = 750 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1 md₂ = 50 mm, L₂ = 2.5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.轴的扭转困难

一根空心轴须在 1800 rpm 下传递 5 kW。其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 75 MPa。求最小外径 d_o。

P = 5 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0.75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 4 kN/m，从 0 到 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

25 kN @ 0 m50 kN @ 12 m25 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mm孔心: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmM = 20 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = 20 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θ_s（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。

σ_x = 20 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 40 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 30° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 40 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 4 mw = 5 kN/m

R_B = kN

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: P = 80.65 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·2827) = 1.286 × 10⁻⁶ mm/N

载荷

P = 0.2/2.48 × 10⁻⁶ = 80653 N = 80.65 kN

答案

P = 80.65 kN

2.轴向应力与应变

答案: P_max = 593.8 kN

面积

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·8482 = 9.896 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.0008, 0.0006) = 0.0006 (黄铜)

最大载荷

P_max = 0.0006·9.896 × 10⁸ = 593761 N = 593.8 kN

答案

P_max = 593.8 kN

3.轴的扭转

答案: φ_C = 5.355 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J₁ = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

各段的扭转角

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 750000·1000/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.01511 rad

φ_BC = 750000·2500/(39000·613592) = 0.07835 rad

总扭转角

φ_C = 0.01511 + 0.07835 = 0.09347 rad = 5.355°

答案

φ_C = 5.355°

4.轴的扭转

答案: d_o = 13.81 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 5000/188.5 = 26.53 N·m

由容许应力求外径

T = 26.53 N·m = 26526 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·26526/(π·75·0.6836)) = 13.81 mm

d_i = 0.75·13.81 = 10.36 mm

答案

d_o = 13.81 mm

实心轴需要 d = 12.17 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 30 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 16·5 − 4·5·2.5 = 30 kN·m

答案

M_x = 30 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: F (x = 10 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 25 kN, R₂ = 75 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −50, M_D = −50, M_E = −50, M_F = −100 kN·m, M_G = 0

答案

标记点 F: M_F = −100 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (20000·100 − 1257·120)/(20000 − 1257) = 98.66 mm

完整的板关于 ȳ

100·200³/12 + 20000·1.341² = 66.7 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·40⁴/64 + 1257·21.34² = 0.698 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 45.21 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

腹板: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·135 + 2400·60)/10800 = 118.3 mm

平行移轴定理

翼缘: 280·30³/12 + 8400·(135 − 118.3)² = 2.963 × 10⁶ mm⁴

腹板: 20·120³/12 + 2400·(60 − 118.3)² = 1.105 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.963 × 10⁶ + 1.105 × 10⁷ = 1.401 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 150 − 118.3 = 31.67 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·31.67/1.401 × 10⁷ = 45.21 MPa

答案

σ_顶部 = 45.21 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_s = −71.57 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。

cos 2θ_s = −60/75 = −0.8, sin 2θ_s = −45/75 = −0.6

2θ_s = atan2(−45, −60) = −143.1°

单元体上的角度

θ_s = −71.57°

校核: θ_s − θ_p = −71.57 − (−26.57) = −45°

答案

θ_s = −71.57°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = 11.34 MPa

变换公式

σ_θ = 0 + 40·0.5 + −10·0.866 = 11.34 MPa

答案

σ_θ = 11.34 MPa

11.梁的挠度

答案: δ = 2.506 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 2.506 mm

答案

δ = 2.506 mm

12.梁的挠度

答案: R_B = 7.5 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·4/8 = 7.5 kN

答案

R_B = 7.5 kN

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 35.88 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3500² = 35879 N = 35.88 kN

答案

P_cr = 35.88 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 19.83 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/7.5 = 186.7

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/186.7² = 19.83 MPa

答案

σ_cr = 19.83 MPa

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